掃き出し法による逆行列

$(A ∣ E)$ を掃き出して $n$ 次正方行列の逆行列を求め、正則かどうかを判定できる

前提

掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）

この技能までの道筋（27 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）

説明

$n$ 次正方行列 $A$ の右に単位行列 $E$ を並べ、 $n \times 2 n$ 行列 $(A ∣ E)$ をつくります。これを行基本変形で掃き出すと、 $A$ が正則かどうかがわかり、正則なら逆行列 $A^{- 1}$ も求まります。2 次の公式 $\frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$ がない 3 次以上の行列でも、同じ手順で計算できます。係数行列が共通の連立 1 次方程式をまとめて解くときや、行列の方程式 $A X = B$ を解くときに使います。

なぜそうしてよいのか

$A^{- 1}$ は $A X = E$ をみたす行列 $X$ のことです。 $X$ の第 $j$ 列を $x_{j}$ 、 $E$ の第 $j$ 列を $e_{j}$ とおきます。すると $A X = E$ は、 $n$ 個の連立 1 次方程式 $A x_{j} = e_{j} (j = 1, \dots, n)$ を並べたものになります。どの方程式も係数行列は $A$ なので、拡大係数行列 $(A ∣ e_{j})$ を一つずつ掃き出しても、使う行基本変形は全部同じです。それなら右側をまとめて $(A ∣ E)$ とし、一度に掃き出せば済みます。左側が $E$ になれば、右側の第 $j$ 列が $A x_{j} = e_{j}$ のただ 1 つの解です。したがって右側全体を $X$ とすると $A X = E$ が成り立ちます。

逆向きの $X A = E$ も成り立ちます。行基本変形を 1 回施すことは、「 $E$ に同じ変形を施した行列」を左から掛けることと同じです。だから変形全体は、ある 1 つの行列 $P$ を左から掛けることにまとまります。 $(A ∣ E)$ に掛けると $P (A ∣ E) = (P A ∣ P E) = (P A ∣ P)$ で、これが $(E ∣ X)$ になったのです。右側を比べて $P = X$ 、左側を比べて $X A = P A = E$ となります。こうして $A X = X A = E$ が確かめられ、 $X = A^{- 1}$ です。

ある列でピボットが選べないこともあります。また、左側に成分がすべて 0 の行が現れることもあります。どちらの場合も、 $A$ の階段行列には主成分が $n$ 個そろわず、階数は $n$ より小さくなります。すると $A x = 0$ には自由に選べる未知数が残るので、 $0$ でない解 $x$ があります。もし $A^{- 1}$ があれば $x = A^{- 1} (A x) = A^{- 1} 0 = 0$ となって矛盾します。よってこのとき $A$ は正則ではありません。

手順

$A$ の右に $n$ 次単位行列 $E$ を並べて $(A ∣ E)$ をつくる
第 1 列から順に、ピボットを選ぶ。ピボットは、その列の対角の位置かそれより下にある 0 でない成分である。必要なら行を入れ替えてピボットを対角の位置に移し、その行をピボットの値で割って 1 にする
ピボットの行の定数倍を他の行から引き、ピボットの上下の成分をすべて 0 にする。変形はつねに $2 n$ 列すべてに施す
ピボットが選べない列が出たとき（対角の位置以下がすべて 0）は、 $A$ は正則でない（逆行列をもたない）と判定して終わる。左側（左の $n$ 列）の成分がすべて 0 の行が現れたときも同じである
左側が $E$ になったら、そのときの右側が $A^{- 1}$ である： $(A ∣ E) \to (E ∣ A^{- 1})$
念のため $A A^{- 1} = E$ となることを掛け算で確かめる

例題

$A = 101212011$ は正則である。 $A^{- 1}$ の $(1, 2)$ 成分を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $(A ∣ E)$ をつくる。
$101212011100010001$
【手順 2・3（第 1 列）】ピボットは $(1, 1)$ 成分の $1$ である。第 3 行から第 1 行を引く。
$100210011 10 - 1 010001$
【手順 2・3（第 2 列）】ピボットは $(2, 2)$ 成分の $1$ である。第 1 行から第 2 行の 2 倍を引く。
$100010 - 2 11 10 - 1 - 2 10 001$
【手順 2・3（第 3 列）】ピボットは $(3, 3)$ 成分の $1$ である。第 1 行に第 3 行の 2 倍を足し、第 2 行から第 3 行を引く。
$100010001 - 1 1 - 1 - 2 10 2 - 1 1$
【手順 4・5】どの列でもピボットが選べ、左側が $E$ になった。したがって
$A^{- 1} = - 1 1 - 1 - 2 10 2 - 1 1$
【手順 6】 $A A^{- 1}$ を計算して確かめる。
- $A$ の第 1 行 $(1, 2, 0)$ と各列の積は $- 1 + 2 = 1, - 2 + 2 = 0, 2 - 2 = 0$
- 第 2 行 $(0, 1, 1)$ では $1 - 1 = 0, 1 + 0 = 1, - 1 + 1 = 0$
- 第 3 行 $(1, 2, 1)$ では $- 1 + 2 - 1 = 0, - 2 + 2 + 0 = 0, 2 - 2 + 1 = 1$

よって $A A^{- 1} = E$ となり、計算は正しい。

以上より、 $A^{- 1}$ の $(1, 2)$ 成分は $- 2$ である。

答え: $- 2$

よくある誤り

行基本変形を左側の $A$ の部分だけに施し、右側の $E$ の部分を変形し忘れる誤り。たとえば例題の「第 3 行 $-$ 第 1 行」では、右側の $(0, 0, 1)$ も $(- 1, 0, 1)$ に変わる。正しくは、変形はつねに $2 n$ 列すべてに施す。
行の変形と列の変形を混ぜてしまう誤り（たとえば第 1 列から第 2 列を引く）。正しくは、使ってよいのは行基本変形だけである。列の変形は右から行列を掛けることにあたるので、混ぜると $P (A ∣ E) = (P A ∣ P)$ の形が崩れ、右側に $A^{- 1}$ は現れない。
左側が上三角行列（例： $100210011$ ）になった時点で止め、右側を逆行列としてしまう誤り。例題でそうすると、右側は $10 - 1 010001$ で、 $A^{- 1}$ ではない。正しくは、ピボットの上の成分も 0 にして、左側を完全に $E$ にしてから右側を読む。
左側に $(000 ∣ 1 - 10)$ のような行が現れても、右側の数を手がかりに続けて逆行列を書いてしまう誤り。正しくは、左側に成分がすべて 0 の行が出た時点で $A$ は正則でなく、逆行列は存在しない。また、行を $0$ 倍する操作は行基本変形ではないので、使ってはいけない（行を割る数は 0 でない数に限る）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

余因子行列とクラメルの公式（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
ヤコビ法・ガウス・ザイデル法の収束（大学数学数値解析）
最小分散ポートフォリオ（大学数学数理ファイナンス・保険数学）
伝達関数と極・零点（大学院数学制御理論）