最小分散ポートフォリオ

$\sum w_{i} = 1$ のもとで $Var (R_{P})$ を最小にする比率を、ラグランジュの未定乗数法（ $w \propto Σ^{- 1} 1$ ）で求められる

前提

ポートフォリオの期待収益率と分散（大学数学数理ファイナンス・保険数学）
ラグランジュの未定乗数法（大学数学微分積分）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）

説明

複数の資産にお金を配分するとき、比率の合計を $1$ にするという条件のもとで、ポートフォリオの収益率の分散（リスク）が最も小さくなる比率を求めます。やることは 2 つです。共分散行列 $Σ$ について連立 1 次方程式 $Σ v = 1$ を解き、その解を合計が $1$ になるように割ります。期待収益率は考えず、とにかくリスクを最小にしたい場面で使います。

なぜそうしてよいのか

資産を $n$ 個とし、比率を $w = (w_{1}, \dots, w_{n})^{T}$ と書きます。すべての成分が $1$ の縦ベクトルを $1 = (1, \dots, 1)^{T}$ とします。共分散行列は $Σ = (σ_{ij})$ 、 $σ_{ij} = Cov (R_{i}, R_{j})$ です。 $σ_{ij} = σ_{j i}$ なので $Σ$ は対称で、対角成分 $σ_{ii}$ は各資産の分散です。このとき $Var (R_{P}) = \sum_{i, j} w_{i} w_{j} σ_{ij} = w^{T} Σ w$ と書けます。

未定乗数法を使うため、 $L = \sum_{i, j} w_{i} w_{j} σ_{ij} - λ (\sum_{i} w_{i} - 1)$ とおきます。 $w_{k}$ を含むのは $i = k$ の項と $j = k$ の項なので、 $\frac{\partial L}{\partial w _{k}} = \sum_{j} σ_{k j} w_{j} + \sum_{i} w_{i} σ_{ik} - λ = 2 (Σ w)_{k} - λ$ です。これを $0$ とおくと $Σ w = \frac{λ}{2} 1$ が得られます。 $(Σ w)_{k} = Cov (R_{k}, R_{P})$ なので、この式は「どの資産も、ポートフォリオ全体との共分散が等しい」という意味です。共分散が資産ごとに違えば、共分散の大きい資産から小さい資産へ比率を少し移すことで分散を下げられます。等しくなったところが底だ、と直観的に理解できます。

ここで $Σ$ は正定値、すなわち $w \neq = 0$ なら常に $w^{T} Σ w > 0$ と仮定します（リスクがゼロになる資産の組合せがない、という意味です）。このとき $Σ x = 0$ となる $x \neq = 0$ はありません。もしあれば $x^{T} Σ x = 0$ となり、仮定に反するからです。したがって $Σ$ は正則です。

$v = Σ^{- 1} 1$ とおくと、 $w = \frac{λ}{2} v$ 、つまり $w \propto Σ^{- 1} 1$ です。条件 $\sum w_{i} = 1$ に代入すると $\frac{λ}{2} \sum v_{i} = 1$ になります。割り算ができるかを確かめるため、 $\sum v_{i} = 1^{T} v \neq = 0$ を示します。 $Σ v = 1 \neq = 0$ より $v \neq = 0$ です。さらに $Σ$ の対称性から $1^{T} v = (Σ v)^{T} v = v^{T} Σ v > 0$ が成り立ちます。よって $\frac{λ}{2} = \frac{1}{1 ^{T} Σ ^{- 1} 1}$ と決まり、 $w^{*} = \frac{Σ ^{- 1} 1}{1 ^{T} Σ ^{- 1} 1}$ です。このときの分散は $w^{* T} Σ w^{*} = \frac{λ}{2} 1^{T} w^{*} = \frac{1}{1 ^{T} Σ ^{- 1} 1}$ となります。

最後に、これが本当に最小であることを確かめます。条件を満たす任意の比率を $w = w^{*} + d$ （ $\sum d_{i} = 0$ ）と書きます。対称性から $w^{T} Σ w = w^{* T} Σ w^{*} + 2 d^{T} Σ w^{*} + d^{T} Σ d$ です。 $Σ w^{*} = c 1$ なので、中央の項は $2 c \sum d_{i} = 0$ になります。よって分散は $Var^{*} + d^{T} Σ d \geq Var^{*}$ で、等号は $d = 0$ のときだけ成り立ちます。つまり $w^{*}$ はただ一つの最小点です。なお、ここでは $w_{i} < 0$ （空売り）も許しています。

手順

共分散行列 $Σ$ を書く。対角成分に各資産の分散、 $(i, j)$ 成分に $Cov (R_{i}, R_{j})$ を入れる（対称行列になる）。 $Σ$ が正定値であること（ $w \neq = 0$ なら $w^{T} Σ w > 0$ ）は、問題の仮定として与えられるものとして使う。
連立 1 次方程式 $Σ v = 1$ を掃き出し法で解き、 $v = Σ^{- 1} 1$ を得る。逆行列全体を求める必要はない。 $Σ = k M$ （ $k > 0$ ）と定数をくくり出せるなら、 $M u = 1$ を解けばよい。このとき $v = \frac{1}{k} u$ で、比率は同じになる。
合計で割って正規化する: $w_{i} = \frac{v _{i}}{v _{1} + \dots + v _{n}}$ 。正定値なので $v_{1} + \dots + v_{n} = v^{T} Σ v > 0$ となり、割ってよい。
検算として、 $Σ w$ の成分がすべて等しいことを確かめる。必要なら最小分散 $\frac{1}{v _{1} + \dots + v _{n}}$ を求める（ $v$ は元の $Σ$ で解いたもの）。

例題

3 つの資産の収益率 $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ の共分散行列が $Σ = 0.04 0.02 0 0.02 0.05 0.01 0 0.01 0.03$ で与えられている（ $Σ$ は正定値）。空売りを許し、 $w_{1} + w_{2} + w_{3} = 1$ のもとで $Var (R_{P})$ を最小にする比率の組 $(w_{1}, w_{2}, w_{3})$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $Σ = 0.01 M$ 、 $M = 420251013$ と書ける。正定値であることは問題の仮定として使う。

【手順 2】 $M u = 1$ を掃き出す。拡大係数行列は $420251013111$ である。
- 2 行目から 1 行目の $\frac{1}{2}$ 倍を引くと $(0, 4, 1 ∣ \frac{1}{2})$ になる。
- 3 行目から新しい 2 行目の $\frac{1}{4}$ 倍を引くと $(0, 0, \frac{11}{4} ∣ \frac{7}{8})$ になる。
- よって $u_{3} = \frac{7}{8} \cdot \frac{4}{11} = \frac{7}{22}$ である。
- $4 u_{2} + \frac{7}{22} = \frac{1}{2}$ から $u_{2} = \frac{1}{22}$ を得る。
- $4 u_{1} + 2 \cdot \frac{1}{22} = 1$ から $u_{1} = \frac{5}{22}$ を得る。

元の $Σ$ に対する解は $v = Σ^{- 1} 1 = 100 u = (\frac{250}{11}, \frac{50}{11}, \frac{350}{11})$ である。ただし定数倍は次の正規化で消えるので、比率を求めるだけなら $u$ のままでよい。

【手順 3】 $u_{1} + u_{2} + u_{3} = \frac{13}{22} > 0$ なので、 $w = (\frac{5}{13}, \frac{1}{13}, \frac{7}{13})$ となる。

【手順 4】検算する。 $M w = \frac{1}{13} (20 + 2, 10 + 5 + 7, 1 + 21) = \frac{22}{13} (1, 1, 1)$ となり、成分はすべて等しい。参考までに、 $\sum v_{i} = \frac{650}{11}$ なので、最小分散は $\frac{11}{650}$ である（ $= 0.01 \cdot \frac{22}{13}$ とも一致する）。

答え: $(\frac{5}{13}, \frac{1}{13}, \frac{7}{13})$

よくある誤り

$v = Σ^{- 1} 1$ をそのまま比率としてしまう誤り。例題では $v = (\frac{250}{11}, \frac{50}{11}, \frac{350}{11})$ で、合計は $\frac{650}{11} \neq = 1$ になる。くくり出した $M$ で解いた $u = (\frac{5}{22}, \frac{1}{22}, \frac{7}{22})$ をそのまま使っても、合計は $\frac{13}{22} \neq = 1$ である。正しくは合計で割り、 $(\frac{5}{13}, \frac{1}{13}, \frac{7}{13})$ とする。
共分散を無視して、比率を分散の逆数に比例させてしまう誤り。例題で $w_{i} \propto \frac{1}{σ _{ii}}$ とすると $(\frac{15}{47}, \frac{12}{47}, \frac{20}{47})$ になるが、これは誤り。 $w_{i} \propto 1/ σ_{ii}$ が正しいのは、 $Σ$ が対角行列（共分散がすべて $0$ ）のときだけである。一般には $Σ v = 1$ を解く。
逆行列ではなく $Σ$ そのものを $1$ に掛けてしまう誤り。 $Σ 1$ の成分は各行の和で、例題では $(0.06, 0.08, 0.04)$ となり、比率 $(\frac{1}{3}, \frac{4}{9}, \frac{2}{9})$ が出てしまう。正しくは $w \propto Σ^{- 1} 1$ 、つまり $Σ v = 1$ の解 $v$ に比例させる。
定数をくくり出して $M u = 1$ を解いたあと、最小分散を $\frac{1}{\sum u _{i}}$ としてしまう誤り。例題では $\frac{22}{13}$ と答えてしまう。比率は定数倍の影響を受けないが、分散は受ける。正しくは $Σ = 0.01 M$ なので、 $\frac{1}{1 ^{T} Σ ^{- 1} 1} = 0.01 \cdot \frac{22}{13} = \frac{11}{650}$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

最小分散ポートフォリオ

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題