掃き出し法と連立 1 次方程式

$x,y,z$ を実数とする。連立 1 次方程式 $$\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ 2x+3y+z=11\\ x+2y+3z=14\end{array}$$ を、拡大係数行列に行基本変形（掃き出し法）を行って解け。解を組 $(x,y,z)$ で答えよ。

$x,y,z$ を実数とする。連立 1 次方程式
$$\{\begin{array}{l}x+y+z=4\\ 2x+3y+z=4\\ x+2y+3z=9\end{array}$$
を、拡大係数行列に行基本変形を行う掃き出し法で解け。解を $(x,y,z)$ の組で答えよ。

実数の未知数 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ についての連立 1 次方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+2x_3+x_4+x_5=3\\ 2x_1+3x_2+5x_3+x_4+3x_5=7\\ x_1+2x_2+3x_3+2x_5=4\end{array}$$
を考える。係数行列を $A$、拡大係数行列を $\tilde{A}$ とする。$\mathrm{rank}A$、$\mathrm{rank}\tilde{A}$、および解の自由度（解が存在するときの $5-\mathrm{rank}A$、すなわち一般解に含まれる任意定数の個数）を、この順に組 $(\mathrm{rank}A,\mathrm{rank}\tilde{A},\text{自由度})$ で答えよ。

実数 $x_1,x_2,x_3,x_4$ についての連立 1 次方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-x_3+x_4=3\\ 2x_1+4x_2-x_3+3x_4=7\\ x_1+2x_2+x_3+3x_4=5\end{array}$$
を考える。係数行列を $A$、拡大係数行列を $\tilde{A}$ とする。$\mathrm{rank}A$、$\mathrm{rank}\tilde{A}$、および解の自由度（一般解に含まれる任意定数の個数）をこの順に組 $(\mathrm{rank}A,\mathrm{rank}\tilde{A},\text{自由度})$ で答えよ。

$a$ を実数の定数とする。${\mathbb{R}}^3$ の 3 つのベクトル
$${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right),{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right),{\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ a\end{array}\right)$$
が一次従属になるような $a$ の値を求めよ。

$a$ を実数とする。${\mathbb{R}}^3$ の 3 つのベクトル
$${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right),{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right),{\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ a\end{array}\right)$$
が一次従属になるような $a$ の値を求めよ。

線形写像 $f:{\mathbb{R}}^5\to {\mathbb{R}}^3$ を $f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ で定める。ただし
$$A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 0& 1& 1\\ 2& 4& 1& 3& 2\\ 1& 2& 1& 2& 1\end{array}\right)$$
とする。像 $\mathrm{Im}f$ の次元と核 $\ker f$ の次元を求め、$(\dim \mathrm{Im}f,\dim \ker f)$ の順に組で答えよ。

線形写像 $f:{\mathbb{R}}^4\to {\mathbb{R}}^3$ を $f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ で定める。ただし
$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 2& 4& 1& 3\\ 1& 2& 1& 2\end{array}\right)$$
とする。核 $\ker f$ の次元と像 $\mathrm{Im}f$ の次元を、$(\dim \ker f,\dim \mathrm{Im}f)$ の順の組で求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x,y,z$ についての連立 1 次方程式
$$\{\begin{array}{l}x+y+az=1\\ x+ay+z=1\\ ax+y+z=-2\end{array}$$
が無数の解をもつような $a$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の列ベクトル $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$, $\mathbf{y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)$ に対して
$$⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=2x_1{y}_1+2x_2{y}_2+2x_3{y}_3+x_1{y}_2+x_2{y}_1+x_2{y}_3+x_3{y}_2$$
と定めると、これは ${\mathbb{R}}^3$ の内積である。この内積に関するノルムを $\Vert \mathbf{x}\Vert =\sqrt{⟨\mathbf{x},\mathbf{x}⟩}$ とする。

${\mathbf{e}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, ${\mathbf{e}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ で張られる部分空間を $W$ とし、$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ とする。この内積に関する $\mathbf{v}$ と $W$ の距離、すなわち $\mathbf{v}$ から $W$ への直交射影を $\mathbf{w}$ としたときの $\Vert \mathbf{v}-\mathbf{w}\Vert$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$（内積 $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx$）を考える。実数 $a,b$ を動かすとき、
$${\int }_0^1{\left(\sqrt{x}-a-bx\right)}^{2}dx$$
の最小値を求めよ。

一様な静止した空気（密度 $\rho$）の中の 1 点で、エネルギー $E$ が瞬間的に放出されて強い球面衝撃波が広がる。放出から時刻 $t$ における衝撃波面の半径 $R$ は、$E,\rho ,t$ だけで決まり、
$$R=C{E}^{\alpha }{\rho }^{\beta }{t}^{\gamma }$$
の形に書けるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。（空気のはじめの圧力、重力などの影響は無視する。）

次元解析により、指数 $\gamma$ の値を求めよ。

5 個のデータ点
$$(x_i,y_i)=(0,1),(1,2),(2,2),(3,4),(4,5)(i=1,2,3,4,5)$$
に、実数 $a,b$ を係数とする直線 $y=a+bx$ を当てはめる。残差の二乗和
$$S(a,b)=\sum _{i=1}^5{\left(y_i-a-b{x}_i\right)}^2$$
を最小にする $(a,b)$ を、正規方程式 $A^{\mathsf{T}}A\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=A^{\mathsf{T}}\mathbf{y}$（$A$ は第 $i$ 行が $(1,x_i)$ の $5\times 2$ 行列、$\mathbf{y}=(y_1,\dots ,y_5{)}^{\mathsf{T}}$）を解いて求め、組 $(a,b)$ の形で答えよ。

実数 $x,y$ についての次の連立一次方程式を考える。
$$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=2\\ 2x+y=4\end{array}$$
この連立方程式は解をもたない。そこで、各式の左辺と右辺の差の二乗和
$$S(x,y)=(x+y-1{)}^2+(x-y-2{)}^2+(2x+y-4{)}^2$$
を最小にする実数の組 $(x,y)$（最小二乗解）を考える。$S(x,y)$ を最小にする $(x,y)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^4$ の部分空間 $W_1,W_2$ を次のように定める。
$$W_1=⟨\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\\ 0\end{array}\right)⟩,W_2=\left\{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^4|\begin{array}{l}{x}_1-x_2+x_3-x_4=0\\ x_1+x_4=0\end{array}\right\}$$
ここで $⟨\cdot ⟩$ は、並べたベクトルで張られる部分空間を表す。和空間 $W_1+W_2$ の次元と共通部分 $W_1\cap W_2$ の次元を、この順に組 $(\dim (W_1+W_2),\dim (W_1\cap W_2))$ の形で求めよ。

$xy$ 平面上の 5 点で、ある量 $z$ を測定したところ、次のデータ $(x_i,y_i,z_i)$ $(i=1,2,3,4,5)$ を得た。
$$(0,0,1),(1,0,2),(0,1,4),(1,1,4),(2,1,7)$$
このデータに、実数 $a,b,c$ を係数とする平面のモデル $z=a+bx+cy$ を当てはめる。残差の二乗和
$$S(a,b,c)=\sum _{i=1}^5{\left(z_i-a-b{x}_i-c{y}_i\right)}^2$$
を $a,b,c$ が実数全体を動くときに考える。$S(a,b,c)$ の最小値を求めよ。

次の $5$ 個のデータ $(t_i,y_i)$ $(i=1,2,\dots ,5)$ が与えられている。
$$(t_i,y_i)=(-2,6),(-1,1),(0,0),(1,2),(2,7)$$
このデータに $2$ 次関数のモデル $y=a+bt+c{t}^2$ （$a,b,c$ は実数）を当てはめる。残差の二乗和
$$S(a,b,c)=\sum _{i=1}^5{\left(y_i-a-b{t}_i-c{t}_i^2\right)}^2$$
を最小にする $a,b,c$ を最小二乗法で求めたとき、$S(a,b,c)$ の最小値を求めよ。

一様な密度 $\rho$ の静止した空気中の 1 点で、時刻 $t=0$ に大きさ $E$ のエネルギーが瞬間的に放出され、球面状の強い衝撃波が広がっていく。周囲の空気の圧力の影響は無視でき、空気の比熱比は一定とする。このとき、時刻 $t(>0)$ における衝撃波の半径 $R$ は $E$, $\rho$, $t$ だけで決まり、
$$R=C{E}^a{\rho }^b{t}^c$$
の形に書けるとする。ここで $C$ は正の無次元定数（比熱比によって決まる）、$a$, $b$, $c$ は実数の定数である。

次元解析により $a$, $b$, $c$ を決めたうえで、衝撃波の半径がちょうど $R$ になった瞬間の衝撃波面の広がる速さ $U=\frac{dR}{dt}$ を、$C$, $E$, $\rho$, $R$ を用いて表せ。

十分に長いまっすぐな円管（半径 $a$）の中を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が定常な層流として流れている。管の単位長さあたりの圧力降下を $G$（単位 $Pa/m$）とする。単位時間に管の断面を通過する流体の体積（体積流量）$Q$ は $G,\mu ,a$ だけで決まり、
$$Q=C{G}^{\alpha }{\mu }^{\beta }{a}^{\gamma }$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数で、管や流体によらない。

いま、ある管と流体の組（状態 A）で流量が $Q_{\mathrm{A}}$ であった。管の半径を $\frac{3}{2}$ 倍にし、流体を粘性率が $3$ 倍の別の流体に取り替え、単位長さあたりの圧力降下 $G$ は同じに保った（状態 B）。状態 B の流量を $Q_{\mathrm{B}}$ とするとき、比 $\frac{Q_{\mathrm{B}}}{Q_{\mathrm{A}}}$ を既約分数で求めよ。

$a,b$ を実数の定数とする。$x_1,x_2,x_3,x_4$ についての連立 1 次方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+x_3-x_4=1\\ 2x_1+5x_2+3x_3+x_4=4\\ x_1+3x_2+a{x}_3+3x_4=b\\ 3x_1+7x_2+4x_3+(a-1)x_4=b+3\end{array}$$
が無数の解をもつような実数の組 $(a,b)$ を求めよ。

5 個のデータ点
$$(x_i,y_i)=(-2,3),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,5)(i=1,2,3,4,5)$$
に、実数 $a,b,c$ を係数とする 2 次関数 $y=a+bx+c{x}^2$ を当てはめる。残差の二乗和
$$S(a,b,c)=\sum _{i=1}^5{\left(y_i-a-b{x}_i-c{x}_i^2\right)}^2$$
を最小にするように $a,b,c$ を定めるとき、$S$ の最小値を求めよ。

実数 $x_1,x_2,x_3,x_4$ についての次の線形計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\begin{array}{rl}\text{minimize}& 4x_1+3x_2+3x_3+6x_4\\ \text{subject to}& x_1+2x_2+x_3+3x_4\ge 8,\\ & 3x_1+x_2+x_3+2x_4\ge 9,\\ & x_1,x_2,x_3,x_4\ge 0\end{array}$$
$(\mathrm{P})$ の双対問題を作って解き、相補性条件を用いることで、$(\mathrm{P})$ の最適解 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ を求めよ（最適解はただ 1 つに定まる）。答えは組 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の形で答えよ。

$n$ を $3$ 以上の整数とする。$e_1,e_2$ を ${\mathbb{C}}^2$ の標準基底とし、$n$ 個のテンソル積 $V=({\mathbb{C}}^2{)}^{\otimes n}$ を考える。複素リー群 $G=SL(2,\mathbb{C}{)}^n$（$SL(2,\mathbb{C})$ の $n$ 個の直積）を $V$ に
$$(g_1,\dots ,g_n)\cdot (v_1\otimes \cdots \otimes v_n)=g_1{v}_1\otimes \cdots \otimes g_n{v}_n$$
を線形に拡張して作用させる。ベクトル
$$w_n=\sum _{j=1}^n{e}_1\otimes \cdots \otimes e_1\otimes \underset{j\text{ 番目}}{e_2}\otimes e_1\otimes \cdots \otimes e_1\in V$$
（$j$ 番目の因子だけが $e_2$ で、残りがすべて $e_1$ であるテンソルの和）の等方部分群
$$G_{w_n}=\{g\in G\mid g\cdot w_n=w_n\}$$
の複素次元を $n$ の式で求めよ。

正の整数 $n$ に対して $\sigma (n)={\sum }_{d\mid n,d>0}d$ とし、$n$ が正の整数でないときは $\sigma (n)=0$ と定める。上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$ とおき、
$$\theta (\tau )=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2},E_2(\tau )=1-24\sum _{n=1}^{\infty }\sigma (n)q^n$$
とする。次の事実を用いてよい。

• $f(\tau )=\theta (\tau {)}^2\theta (2\tau {)}^2$ は ${\Gamma }_0(8)$ に関する重さ $2$ の正則モジュラー形式である。
• ${\Gamma }_0(8)$ に関する重さ $2$ の正則モジュラー形式全体のなす $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間は $3$ 次元であり、$E_2(\tau )-2E_2(2\tau )$, $E_2(\tau )-4E_2(4\tau )$, $E_2(\tau )-8E_2(8\tau )$ はその基底をなす。

$0$ 以上の整数 $N$ に対して、$r(N)$ を
$$x^2+y^2+2z^2+2w^2=N$$
を満たす整数の組 $(x,y,z,w)\in {\mathbb{Z}}^4$ の個数とする。$r(2024)$ を求めよ。

実数係数の $x$ の多項式で次数が $3$ 以下のもの全体のなす実線形空間に、内積
$$⟨f,g⟩={\int }_0^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}dx$$
を考える。実数 $a,b,c$ を動かすとき
$${\int }_0^{\infty }{\left(x^3-a{x}^2-bx-c\right)}^2{e}^{-x}dx$$
の最小値を求めよ。

実数を成分とする 3 次正方行列全体のなす実線形空間を $M_3(\mathbb{R})$ とし、
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$
とする。線形写像 $T:M_3(\mathbb{R})\to M_3(\mathbb{R})$ を $T(X)=AX-XA$ で定めるとき、像 $\mathrm{Im}T$ の次元を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x_1,x_2,x_3,x_4$ についての連立 1 次方程式
$$\{\begin{array}{l}a{x}_1+x_2+x_3+x_4=1\\ x_1+a{x}_2+x_3+x_4=a\\ x_1+x_2+a{x}_3+x_4=a^2\\ x_1+x_2+x_3+a{x}_4=a^3\end{array}$$
が解をもたないような $a$ の値をすべて求めよ。

水平で十分に広い平らな床の上に、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体を、体積 $V$ だけ時刻 $t=0$ に 1 点のまわりに一度に置いた。流体は重力によって軸対称に広がり、十分に時間がたつと、厚さが広がりの半径に比べてずっと薄い層になる。重力加速度の大きさを $g$ とし、慣性・表面張力・周囲の空気の影響は無視する。

このとき、中心からの距離 $r$、時刻 $t$ における層の厚さ $h(r,t)$ は、潤滑近似により
$$\frac{\partial h}{\partial t}=\kappa \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{h}^3\frac{\partial h}{\partial r}\right),\kappa =\frac{\rho g}{3\mu }$$
にしたがい、体積は
$$2\pi {\int }_0^{R(t)}rh(r,t)dr=V$$
で一定に保たれる。ここで $R(t)$ は層の先端の半径である。十分に時間がたった後の $R(t)$ は、初期の置き方の詳細によらず $\kappa ,V,t$ だけで決まるものとする。

上の 2 式では、水平方向の長さ（$r,R$）と鉛直方向の長さ（$h$）がそれぞれ別々の組み合わせで現れるので、両者を互いに独立な次元として扱ってよい。このことを用いて次元解析を行い、$R(t)\propto t^n$ と表したときの指数 $n$ を求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u(t)=-kx(t)$ を施す。ここで $k=(k_1,k_2,k_3)$ は実数を成分とする行ベクトルであり、閉ループ系 $\dot{x}=(A-bk)x$ の極（$A-bk$ の固有値）が $-2,-1+i,-1-i$ となるように定める（$i$ は虚数単位）。

この閉ループ系を初期状態 $x(0)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ から動かしたとき、
$${\int }_0^{\infty }{x}_1(t)dt$$
の値を求めよ。

水平な床の上の 1 点から粘性の大きい液体を注入し、液体が軸対称に広がっていく様子を考える。注入点からの水平距離を $r$（単位 $\mathrm{m}$）、時刻を $t>0$（単位 $\mathrm{s}$）、液体層の厚さを $h(r,t)$（単位 $\mathrm{m}$）とする。潤滑近似のもとで、$h$ は次の方程式に従うとする。
$$\frac{\partial h}{\partial t}=\frac{\kappa }{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{h}^3\frac{\partial h}{\partial r}\right)(0<r<R(t))$$
ここで $\kappa =\frac{\rho g}{3\mu }$ は正の定数（単位 ${\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$）である。$R(t)$ は液体の先端の位置で、$h(R(t),t)=0$ とし、$r>R(t)$ では $h=0$ とする。注入流量は時間に比例して増加し、時刻 $t$ までに注入された液体の体積は
$$2\pi {\int }_0^{R(t)}rh(r,t)dr=A{t}^2$$
である（$A$ は正の定数、単位 ${\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-2}$）。

この問題が、相似解 $h(r,t)=H(t)f\left(\frac{r}{R(t)}\right)$ をもつとする。ここで $H(t)$, $R(t)$ は $t>0$ で微分可能な正の関数であり、$f$ は $t$ によらない関数で、$[0,1]$ で連続かつ $(0,1)$ で 2 回微分可能とする。このとき先端の位置が
$$R(t)=C{\kappa }^a{A}^b{t}^c$$
（$C$ は $\kappa$, $A$, $t$ によらない正の無次元定数、$a,b,c$ は実数）と表されるとして、組 $(a,b,c)$ を求めよ。