線形代数の問題

手順 1：拡大係数行列を書く。
$$\tilde{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& -1& 1& 3\\ 2& 4& -1& 3& 7\\ 1& 2& 1& 3& 5\end{array}\right)$$
縦線の左側 4 列が係数行列 $A$ である。

手順 2：行基本変形で階段行列にする。
第 2 行から第 1 行の $2$ 倍を引き、第 3 行から第 1 行を引くと
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& -1& 1& 3\\ 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 2& 2& 2\end{array}\right)$$
さらに第 3 行から第 2 行の $2$ 倍を引くと
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& -1& 1& 3\\ 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
これで階段行列になった。

手順 3：階数を読み取る。
縦線の左側（係数行列の部分）で、すべてが $0$ でない行は第 1 行と第 2 行の 2 本なので $\mathrm{rank}A=2$。
縦線の右側まで含めても、第 3 行は $(0000\mid 0)$ で全部 $0$ なので、0 でない行は 2 本であり $\mathrm{rank}\tilde{A}=2$。

手順 4：解の有無と自由度を判定する。
$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}\tilde{A}$ なので解は存在する（もし第 3 行が $(0000\mid c)$, $c\ne 0$ なら $0=c$ となり解なしであった）。
解の自由度は（未知数の個数）$-\mathrm{rank}A=4-2=2$ である。

実際、階段行列から $x_3=1-x_4$, $x_1=3-2x_2+x_3-x_4=4-2x_2-2x_4$ となり、$x_2=s,x_4=t$（$s,t$ は任意の実数）とおくと
$$(x_1,x_2,x_3,x_4)=(4-2s-2t,s,1-t,t)$$
と任意定数 2 個で表され、自由度 2 と一致する。

よって答えは $(2,2,2)$。

拡大係数行列を行基本変形する。
$$\tilde{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& -1& 1& 3\\ 2& 4& -1& 3& 7\\ 1& 2& 1& 3& 5\end{array}\right)$$
第2行 $-2\times$ 第1行 は $(0,0,1,1,1)$、第3行 $-$ 第1行 は $(0,0,2,2,2)$。
後者は前者の2倍なので、第3行 $-$ 第1行 $-2\times$（第2行 $-2\times$ 第1行）は零行になる。
行階段形は $\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& -1& 1& 3\\ 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$。
よって $\mathrm{rank}A=2$、$\mathrm{rank}\tilde{A}=2$ で、方程式は解をもつ。
自由度は未知数の個数 $-$ 階数 $=4-2=2$。
一般解は $x_3=1-x_4$、$x_1=4-2x_2-2x_4$ で、$x_2,x_4$ が任意。
検算：これを第1式に代入すると $(4-2x_2-2x_4)+2x_2-(1-x_4)+x_4=3$ となり成立する。