線形代数の問題

係数と右辺を並べた拡大係数行列を作ります。$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 2& 3& 1& 11\\ 1& 2& 3& 14\end{array}\right)$$ 以下、第 $i$ 行を $R_i$ と書きます。

手順 1（第 1 列の掃き出し） $R_1$ の $(1,1)$ 成分 $1$ を使って、その下の成分を $0$ にします。$R_2-2R_1$, $R_3-R_1$ を行うと $$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 1& -1& -1\\ 0& 1& 2& 8\end{array}\right)$$ となります（例えば $R_2-2R_1$ は $(2-2,3-2,1-2\mid 11-12)=(0,1,-1\mid -1)$）。

手順 2（第 2 列の掃き出し） $(2,2)$ 成分 $1$ を使って $(3,2)$ 成分を $0$ にします。$R_3-R_2$ を行うと $$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 1& -1& -1\\ 0& 0& 3& 9\end{array}\right)$$ これで階段行列になりました。

手順 3（主成分を 1 にする） $R_3$ を $\frac{1}{3}$ 倍すると $(0,0,1\mid 3)$ です。

手順 4（上向きの掃き出し） 第 3 列の上の成分を $0$ にします。$R_2+R_3$ で $(0,1,0\mid 2)$、$R_1-R_3$ で $(1,1,0\mid 3)$。さらに第 2 列について $R_1-R_2$ で $(1,0,0\mid 1)$。よって $$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right)$$ となり、各行を方程式に戻すと $x=1,y=2,z=3$ です。

検算 $1+2+3=6$, $2+6+3=11$, $1+4+9=14$ でいずれも成り立ちます。

したがって解は $(x,y,z)=(1,2,3)$ です。

拡大係数行列は
[1 1 1 | 6; 2 3 1 | 11; 1 2 3 | 14]。
第2行 −2×第1行、第3行 −第1行 を行うと
[1 1 1 | 6; 0 1 -1 | -1; 0 1 2 | 8]。
第3行 −第2行 を行うと
[1 1 1 | 6; 0 1 -1 | -1; 0 0 3 | 9]。
第3行を 1/3 倍すると z=3。
第2行に第3行を加えると y=2。
第1行から第2行と第3行を引くと x=1。
検算: x+y+z=1+2+3=6、2x+3y+z=2+6+3=11、x+2y+3z=1+4+9=14。いずれも成立する。
よって解は (x,y,z)=(1,2,3) で、一意に定まる。