線形代数の問題

手順 1：拡大係数行列をつくる。
係数と右辺を並べると
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 4\\ 2& 3& 1& 4\\ 1& 2& 3& 9\end{array}\right)$$
となる。

手順 2：第 1 列を掃き出す。
第 1 行の $(1,1)$ 成分 $1$ を軸にして、第 2 行から第 1 行の $2$ 倍を引き、第 3 行から第 1 行を引く。
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 4\\ 0& 1& -1& -4\\ 0& 1& 2& 5\end{array}\right)$$

手順 3：第 2 列を掃き出す。
第 2 行の $(2,2)$ 成分 $1$ を軸にして、第 1 行から第 2 行を引き、第 3 行から第 2 行を引く。
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 8\\ 0& 1& -1& -4\\ 0& 0& 3& 9\end{array}\right)$$
これで階段行列になった。

手順 4：第 3 列を掃き出す。
第 3 行を $\frac{1}{3}$ 倍して
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 8\\ 0& 1& -1& -4\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right)$$
とする。第 1 行から第 3 行の $2$ 倍を引き、第 2 行に第 3 行を加えると
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right)$$
となる。

手順 5：解を読み取る。
各行はそれぞれ $x=2,y=-1,z=3$ を表す。係数部分が単位行列になったので、解はただ 1 つに定まる。

検算： $2+(-1)+3=4$、$4-3+3=4$、$2-2+9=9$ で、3 つの式をすべて満たす。

よって $(x,y,z)=(2,-1,3)$ である。

拡大係数行列は
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& |& 4\\ 2& 3& 1& |& 4\\ 1& 2& 3& |& 9\end{array}\right)$$
第2行 $-2\times$第1行、第3行 $-$ 第1行を行うと
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& |& 4\\ 0& 1& -1& |& -4\\ 0& 1& 2& |& 5\end{array}\right)$$
第3行 $-$ 第2行を行うと
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& |& 4\\ 0& 1& -1& |& -4\\ 0& 0& 3& |& 9\end{array}\right)$$
第3行を $1/3$ 倍して $(0,0,1|3)$ とする。
第2行 $+$ 第3行 より $(0,1,0|-1)$。
第1行 $-$ 第2行 $-$ 第3行 より $(1,0,0|4-(-1)-3)=(1,0,0|2)$。
よって $(x,y,z)=(2,-1,3)$。
検算: $2-1+3=4$、$4-3+3=4$、$2-2+9=9$ となり、すべて成り立つ。