線形代数の問題

方針：拡大係数行列 $\tilde{A}$ を行基本変形で階段行列にし、係数部分（左の 5 列）と全体の 0 でない行の数から階数を読み取る。

拡大係数行列は
$$\tilde{A}=\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 2& 1& 1& 3\\ 2& 3& 5& 1& 3& 7\\ 1& 2& 3& 0& 2& 4\end{array}\right).$$

第 2 行から第 1 行の $2$ 倍を引き、第 3 行から第 1 行を引くと
$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 2& 1& 1& 3\\ 0& 1& 1& -1& 1& 1\\ 0& 1& 1& -1& 1& 1\end{array}\right).$$

第 3 行から第 2 行を引くと
$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 2& 1& 1& 3\\ 0& 1& 1& -1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

これで階段行列になった。

• 係数部分（左の 5 列）で 0 でない行は 2 行なので $\mathrm{rank}A=2$。
• 右端の列も含めた全体でも、0 でない行は 2 行なので $\mathrm{rank}\tilde{A}=2$。

$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}\tilde{A}$ なので、この連立方程式は解をもつ。もし第 3 行が $(00000|c)$（$c\ne 0$）になっていれば $0=c$ という矛盾が生じ、解はなかった。

解の自由度は $5-\mathrm{rank}A=5-2=3$ である。実際、$x_3,x_4,x_5$ を任意定数とすると、第 2 行から $x_2=1-x_3+x_4-x_5$、第 1 行から $x_1=3-x_2-2x_3-x_4-x_5=2-x_3-2x_4$ となり、一般解は任意定数を 3 個含む。

答えは $(2,2,3)$ である。

拡大係数行列に行基本変形を行う。第2行から第1行の2倍を引くと $(0,1,1,-1,1\mid 1)$ になる。第3行から第1行を引くと $(0,1,1,-1,1\mid 1)$ になる。

検算として、第2式から第1式を引くと $x_1+2x_2+3x_3+0x_4+2x_5=4$ となり、これは第3式そのものである。したがって第3式は第2式−第1式であり、定数項を含めて従属している。

変形後は第3行−第2行が零行になる。残る2行 $(1,1,2,1,1\mid 3)$ と $(0,1,1,-1,1\mid 1)$ は1次独立である。よって $\mathrm{rank}A=2$、$\mathrm{rank}\tilde{A}=2$ である。階数が等しいので解は存在し、自由度は $5-2=3$ である。