行列の階数と解の存在

実数の未知数 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ についての連立 1 次方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+2x_3+x_4+x_5=3\\ 2x_1+3x_2+5x_3+x_4+3x_5=7\\ x_1+2x_2+3x_3+2x_5=4\end{array}$$
を考える。係数行列を $A$、拡大係数行列を $\tilde{A}$ とする。$\mathrm{rank}A$、$\mathrm{rank}\tilde{A}$、および解の自由度（解が存在するときの $5-\mathrm{rank}A$、すなわち一般解に含まれる任意定数の個数）を、この順に組 $(\mathrm{rank}A,\mathrm{rank}\tilde{A},\text{自由度})$ で答えよ。

実数 $x_1,x_2,x_3,x_4$ についての連立 1 次方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-x_3+x_4=3\\ 2x_1+4x_2-x_3+3x_4=7\\ x_1+2x_2+x_3+3x_4=5\end{array}$$
を考える。係数行列を $A$、拡大係数行列を $\tilde{A}$ とする。$\mathrm{rank}A$、$\mathrm{rank}\tilde{A}$、および解の自由度（一般解に含まれる任意定数の個数）をこの順に組 $(\mathrm{rank}A,\mathrm{rank}\tilde{A},\text{自由度})$ で答えよ。

$a$ を実数の定数とする。${\mathbb{R}}^3$ の 3 つのベクトル
$${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right),{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right),{\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ a\end{array}\right)$$
が一次従属になるような $a$ の値を求めよ。

$a$ を実数とする。${\mathbb{R}}^3$ の 3 つのベクトル
$${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right),{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right),{\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ a\end{array}\right)$$
が一次従属になるような $a$ の値を求めよ。

線形写像 $f:{\mathbb{R}}^5\to {\mathbb{R}}^3$ を $f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ で定める。ただし
$$A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 0& 1& 1\\ 2& 4& 1& 3& 2\\ 1& 2& 1& 2& 1\end{array}\right)$$
とする。像 $\mathrm{Im}f$ の次元と核 $\ker f$ の次元を求め、$(\dim \mathrm{Im}f,\dim \ker f)$ の順に組で答えよ。

線形写像 $f:{\mathbb{R}}^4\to {\mathbb{R}}^3$ を $f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ で定める。ただし
$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 2& 4& 1& 3\\ 1& 2& 1& 2\end{array}\right)$$
とする。核 $\ker f$ の次元と像 $\mathrm{Im}f$ の次元を、$(\dim \ker f,\dim \mathrm{Im}f)$ の順の組で求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x,y,z$ についての連立 1 次方程式
$$\{\begin{array}{l}x+y+az=1\\ x+ay+z=1\\ ax+y+z=-2\end{array}$$
が無数の解をもつような $a$ の値を求めよ。

実数 $x,y$ についての次の連立一次方程式を考える。
$$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=2\\ 2x+y=4\end{array}$$
この連立方程式は解をもたない。そこで、各式の左辺と右辺の差の二乗和
$$S(x,y)=(x+y-1{)}^2+(x-y-2{)}^2+(2x+y-4{)}^2$$
を最小にする実数の組 $(x,y)$（最小二乗解）を考える。$S(x,y)$ を最小にする $(x,y)$ を求めよ。

$p$ を素数とし、$K$ を結び目、$D$ を $K$ の交点を $n$ 個（$n\ge 1$）もつ図式とする。$D$ の弧とは、$D$ を各交点で下を通る部分で切って得られる、図式の連続な部分のことをいう。$n\ge 1$ のとき $D$ の弧はちょうど $n$ 個あることは用いてよい。弧を $a_1,\dots ,a_n$、交点を $c_1,\dots ,c_n$ とする。写像 $x:\{a_1,\dots ,a_n\}\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ が $D$ の $p$ 彩色であるとは、各交点 $c_k$ で、上を通る弧を $a_i$、交点で切れて下を通る $2$ 本の弧を $a_j,a_l$（$j=l$ や $i\in \{j,l\}$ となる場合も含む）とするとき
$$2x(a_i)-x(a_j)-x(a_l)=0(\text{in }\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$$
が成り立つことをいう。$n\times n$ 整数行列 $M$ を、第 $k$ 行が交点 $c_k$ のこの式の係数を並べたもの（第 $m$ 列が弧 $a_m$ の係数で、同じ弧が式に複数回現れるときは係数を足し合わせる）として定め、$D$ の彩色行列とよぶ。

次の事実は用いてよい: $M$ から任意に $1$ つの行と $1$ つの列を除いた $(n-1)\times (n-1)$ 小行列の行列式の絶対値は、行・列の選び方と図式 $D$ の選び方によらず、$K$ の行列式 $\det (K)$ に等しい（$n=1$ のときは $0\times 0$ 行列の行列式を $1$ と約束する）。

$p$ が $\det (K)$ を割り切らないならば、$D$ の $p$ 彩色は、すべての弧に同じ色を塗る $p$ 個の定値彩色に限ること（したがって $p$ 彩色はちょうど $p$ 個であること）を証明せよ。

$n,m,p$ を正の整数とし、$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, $B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$, $C\in {\mathbb{R}}^{p\times n}$, および正定値対称行列 $R\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$ が与えられているとする。$(C,A)$ は可観測、すなわち可観測性行列
$$\mathcal{O}=\left(\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right)$$
の階数が $n$ であるとする。実対称行列 $P\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ が半正定値であり、代数リッカチ方程式
$$A^{\top }P+PA-PB{R}^{-1}{B}^{\top }P+C^{\top }C=O$$
を満たすとき、$P$ は正定値であることを証明せよ。ただし、実対称行列が正定値であることと、半正定値かつ正則であることが同値であることは用いてよい。

${\mathbb{R}}^4$ のベクトル
$${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 1\\ 2\end{array}\right),{\mathbf{v}}_4=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\\ 1\end{array}\right)$$
が張る部分空間を $W_1$ とし、
$$W_2=\left\{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^4|x_1-x_2+x_3=0,x_2-x_4=0\right\}$$
とする。$\dim (W_1\cap W_2)$ と $\dim (W_1+W_2)$ をこの順に組で求めよ。

$a,b$ を実数の定数とする。$x_1,x_2,x_3,x_4$ についての連立 1 次方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+x_3-x_4=1\\ 2x_1+5x_2+3x_3+x_4=4\\ x_1+3x_2+a{x}_3+3x_4=b\\ 3x_1+7x_2+4x_3+(a-1)x_4=b+3\end{array}$$
が無数の解をもつような実数の組 $(a,b)$ を求めよ。

行列
$$A=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 0& 0\\ -4& -1& 0& 0\\ 1& 0& 2& 1\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\right)$$
の最小多項式（$f(A)=O$ となる最高次の係数が $1$ の多項式 $f(x)$ のうち次数が最小のもの）を求めよ。

二元体 ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上で考える。${\mathbb{F}}_2^4$ のベクトルのうち、ハミング重み（$1$ である成分の個数）が奇数であるものは全部で $8$ 個ある。これら $8$ 個のベクトルを列ベクトルとして、どれも $1$ 回ずつ、ある順に並べてできる $4\times 8$ 行列を $H$ とし、
$$C=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{F}}_2^8\mid H{\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}=0\}$$
で定まる符号長 $8$ の線形符号 $C$ を考える（$\mathbf{x}$ は行ベクトル）。$C$ の次元を $k$、最小距離を $d$、$C$ に含まれるハミング重みがちょうど $d$ の符号語の個数を $A_d$ とする。組 $(k,d,A_d)$ をこの順に求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、${\mathbb{R}}^n$ 上の実 2 次形式
$$q(x)=\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j\left(x={}^t(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n\right)$$
を考える。$q(x)={}^{t}xAx$ を満たす $n$ 次実対称行列 $A$ の正の固有値の個数を $p$、負の固有値の個数を $r$ とし（いずれも重複度を込めて数える）、組 $(p,r)$ を $q$ の符号という。$q$ の符号が $(1,n-1)$ であることを証明せよ。

ただし、実対称行列は直交行列によって対角化できること、および対角化可能な行列では各固有値の重複度がその固有空間の次元に等しいことは用いてよい。

$n$ を $3$ 以上の整数とする。$n^2$ 個の実数の未知数 $x_{ij}(1\le i,j\le n)$ についての、次の $2n+2$ 個の式からなる連立 1 次方程式を考える。$$\sum _{j=1}^n{x}_{ij}=0(i=1,2,\dots ,n),\sum _{i=1}^n{x}_{ij}=0(j=1,2,\dots ,n),$$ $$\sum _{i=1}^n{x}_{ii}=0,\sum _{i=1}^n{x}_{i,n+1-i}=0.$$ この連立 1 次方程式の解全体は ${\mathbb{R}}^{n^2}$ の部分空間をなす。その次元を $n$ の式で求めよ。

$E$ を 6 次単位行列とする。複素数を成分とする 6 次正方行列 $A$ が次の 3 つの条件を満たしている。

• 固有多項式は $(x-2{)}^4(x+1{)}^2$ である。
• 最小多項式は $(x-2{)}^2(x+1{)}^2$ である。
• $\mathrm{rank}(A-2E)=4$ である。

6 次複素正方行列全体のなす複素線形空間を $M_6(\mathbb{C})$ とする。その部分空間
$$C(A)=\{X\in M_6(\mathbb{C})\mid AX=XA\}$$
の（複素線形空間としての）次元を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x_1,x_2,x_3,x_4$ についての連立 1 次方程式
$$\{\begin{array}{l}a{x}_1+x_2+x_3+x_4=1\\ x_1+a{x}_2+x_3+x_4=a\\ x_1+x_2+a{x}_3+x_4=a^2\\ x_1+x_2+x_3+a{x}_4=a^3\end{array}$$
が解をもたないような $a$ の値をすべて求めよ。

$q$ を素数べき、${\mathbb{F}}_q$ を $q$ 元体とし、$n,k$ を $1\le k\le n-1$ を満たす整数とする。$C\subset {\mathbb{F}}_q^n$ を $k$ 次元の線形符号とし（${\mathbb{F}}_q^n$ の元は行ベクトルとする）、
- $G$ を $C$ の生成行列、すなわち $C=\{\mathbf{u}G\mid \mathbf{u}\in {\mathbb{F}}_q^k\}$ を満たす階数 $k$ の $k\times n$ 行列、
- $H$ を $C$ の検査行列、すなわち $C=\{\mathbf{c}\in {\mathbb{F}}_q^n\mid H{\mathbf{c}}^{\mathsf{T}}=0\}$ を満たす階数 $n-k$ の $(n-k)\times n$ 行列

とする。語の重みを $0$ でない成分の個数とする。

このとき、次の 2 条件が同値であることを証明せよ。

(A) $G$ のどの $k$ 本の列ベクトルも ${\mathbb{F}}_q$ 上 1 次独立である。

(B) $H$ のどの $n-k$ 本の列ベクトルも ${\mathbb{F}}_q$ 上 1 次独立である。

なお、線形代数の基本事項（次元定理、正方行列が正則であることと列ベクトルが 1 次独立であることの同値性など）は用いてよい。

$n,m$ を正の整数とし、$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, $B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$ とする。$(A,B)$ は可制御、すなわち可制御性行列
$$\mathcal{C}=\left(\begin{array}{ccccc}B& AB& A^{2}B& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^{n\times nm}$$
の階数が $n$ であるとする。

任意の状態フィードバックゲイン $K\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ と、閉ループ行列 $F=A-BK$ の任意の固有値 $\lambda \in \mathbb{C}$ に対して、
$${\dim }_{\mathbb{C}}\ker (\lambda I-F)\le m$$
が成り立つこと（すなわち、状態フィードバックで配置したどの極の幾何的重複度も入力の本数 $m$ 以下であること）を証明せよ。ここで $\ker$ は ${\mathbb{C}}^n$ における核とし、$I$ は $n$ 次単位行列とする。

$n,m,p$ を正の整数とし、$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, $B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$, $C\in {\mathbb{R}}^{p\times n}$ とする。系 $\dot{x}=Ax+Bu$, $y=Cx$ に、出力の積分 $\dot{z}=-y$（$z\in {\mathbb{R}}^p$）を付け加えた拡大系
$$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}x\\ z\end{array}\right)=\tilde{A}\left(\begin{array}{c}x\\ z\end{array}\right)+\tilde{B}u,\tilde{A}=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ -C& O\end{array}\right),\tilde{B}=\left(\begin{array}{c}B\\ O\end{array}\right)$$
を考える（$\tilde{A}$ は $(n+p)$ 次正方行列）。

拡大系 $(\tilde{A},\tilde{B})$ が可制御であるための必要十分条件は、「$(A,B)$ が可制御」かつ
$$\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& O\end{array}\right)=n+p$$
であることを証明せよ。

ただし、次の可制御性の判定法（PBH テスト）は用いてよい: $F\in {\mathbb{R}}^{N\times N}$, $G\in {\mathbb{R}}^{N\times r}$ について、$(F,G)$ が可制御であることと、すべての $\lambda \in \mathbb{C}$ に対して $\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cc}\lambda I_N-F& G\end{array}\right)=N$ であることは同値である。