線形代数の問題

解空間の次元は $n^2-r$ である。ここで $r$ は係数行列の階数、すなわち $2n+2$ 個の方程式の左辺（1 次式）が張る空間の次元である。

1 次式と行列の同一視. $n$ 次実正方行列 $C=(c_{ij})$ に 1 次式 $f_C(X)={\sum }_{i,j}{c}_{ij}{x}_{ij}$ を対応させると、これは $n$ 次正方行列全体から 1 次式全体への線形同型である。よって、各方程式の係数を並べた行列の張る空間の次元を求めればよい。

• 第 $i$ 行の和の式の係数行列は、第 $i$ 行の成分がすべて $1$ で他が $0$ の行列 $R_i$。
• 第 $j$ 列の和の式の係数行列は、第 $j$ 列の成分がすべて $1$ で他が $0$ の行列 $C_j$。
• 対角線の和の式の係数行列は単位行列 $I$、反対角線の和の式の係数行列は $(i,j)$ 成分が $[i+j=n+1]$（成り立てば $1$、そうでなければ $0$）の行列 $K$。

$R_i,C_j$ の張る空間 $U$ の次元. ${\sum }_i{a}_i{R}_i+{\sum }_j{b}_j{C}_j$ の $(i,j)$ 成分は $a_i+b_j$ だから、$U=\{(a_i+b_j{)}_{i,j}\}$ である。線形写像 $\phi :{\mathbb{R}}^{2n}\to M_n(\mathbb{R}),(a_1,\dots ,a_n,b_1,\dots ,b_n)\mapsto (a_i+b_j)$ の核を求めると、すべての $i,j$ で $a_i=-b_j$ なので $a_1=\cdots =a_n=t,b_1=\cdots =b_n=-t$ となり、核は 1 次元。したがって $\dim U=2n-1$。

$I,K$ が $U$ を法として 1 次独立であること. $U$ の元 $c_{ij}=a_i+b_j$ は、任意の $i,k,j,l$ について $$c_{ij}+c_{kl}=c_{il}+c_{kj}(\ast )$$ を満たす。いま $\alpha I+\beta K\in U$ と仮定し、$c_{ij}=\alpha [i=j]+\beta [i+j=n+1]$ とおく。

$(\ast )$ を $(i,j),(k,l)=(1,1),(2,2)$ に使う：$c_{11}=\alpha$（$n\ge 3$ より $2\ne n+1$）、$c_{22}=\alpha +\beta [n=3]$、$c_{12}=c_{21}=\beta [n=2]=0$。よって $$2\alpha +\beta [n=3]=0.$$

$(\ast )$ を $(1,n),(2,n-1)$ と $(1,n-1),(2,n)$ に使う：$c_{1n}=\beta$、$c_{2,n-1}=\beta +\alpha [n=3]$、$c_{1,n-1}=\alpha [n=2]=0$、$c_{2n}=\alpha [n=2]=0$。よって $$2\beta +\alpha [n=3]=0.$$

$n\ge 4$ ならただちに $\alpha =\beta =0$。$n=3$ なら $2\alpha +\beta =0,\alpha +2\beta =0$ より $\alpha =\beta =0$。

したがって $I,K$ は $U$ を法として 1 次独立であり、$$r=\dim U+2=(2n-1)+2=2n+1.$$

結論. 解空間の次元は $$n^2-(2n+1)=n^2-2n-1.$$ （確認：$n=3$ のとき $2$ となり、和が $0$ の $3$ 次魔方陣の空間の次元 $2$ と一致する。）

連立方程式の係数行列の階数を求める。式は全部で $2n+2$ 個あるので、これらの間の 1 次従属関係の空間の次元を調べればよい。

各式を、$n\times n$ 配列上の「指示関数」と考える。行 $i$ の和の式の係数を $a_i$、列 $j$ の和の式の係数を $b_j$、対角線の式の係数を $c$、反対角線の式の係数を $d$ とする。

従属関係とは、すべての $(i,j)$ について
$$a_i+b_j+c{\delta }_{ij}+d{\delta }_{i,n+1-j}=0$$
が成り立つような係数の組のことである。

$M=c{\delta }_{ij}+d{\delta }_{i,n+1-j}$ とおくと、$M_{ij}=-(a_i+b_j)$ である。したがって、任意の $i,k,j,l$ について
$$M_{ij}+M_{kl}=M_{il}+M_{kj}$$
が成り立つ。

• $n\ge 4$ のとき、$i=1,k=2,j=1,l=2$ とすると $M_{11}=c$、$M_{22}=c$、$M_{12}=M_{21}=0$ なので $2c=0$ となり、$c=0$。同様に反対角線側から $d=0$ が得られる。
• $n=3$ のとき、$i=1,k=2,j=1,l=2$ とすると $M_{11}=c$、$M_{22}=c+d$、$M_{12}=M_{21}=0$ なので $2c+d=0$。次に $i=1,k=3,j=1,l=3$ とすると $M_{11}=M_{33}=c$、$M_{13}=M_{31}=d$ なので $c=d$。よって $c=d=0$。

どちらの場合も $c=d=0$ となる。すると $a_i+b_j=0$ がすべての $i,j$ で成り立つので、$a_i=a$、$b_j=-a$ という定数になる。これは「全行の和 $=$ 全列の和」という 1 つの従属関係だけである。

よって従属関係の空間は 1 次元で、階数は $2n+2-1=2n+1$ である。

解空間の次元は $n^2-(2n+1)=n^2-2n-1$。

検算として $n=3$ を考える。このとき $9-7=2$ であり、各行・各列・両対角線の和が 0 の $3\times 3$ の魔方陣全体の次元 $2$ と一致する。