線形代数の問題

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$x_1,x_2,\dots ,x_n$ を複素数とする。$n$ 次正方行列 $A$ を、第 $i$ 行（$i=1,2,\dots ,n$）が
$$\left(1,x_i,x_i^2,\dots ,x_i^{n-2},x_i^n\right)$$
であるものとする（すなわち、第 $j$ 列（$1\le j\le n-1$）の $(i,j)$ 成分は $x_i^{j-1}$、第 $n$ 列の $(i,n)$ 成分は $x_i^n$ であり、ヴァンデルモンド行列から $x_i^{n-1}$ の列を除いて $x_i^n$ の列を加えた形である）。このとき
$$\det A=\left(x_1+x_2+\cdots +x_n\right)\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、任意の正の整数 $m$ と複素数 $y_1,\dots ,y_m$ に対して、第 $i$ 行が $(1,y_i,y_i^2,\dots ,y_i^{m-1})$ である $m$ 次正方行列の行列式が $\prod _{1\le i<j\le m}(y_j-y_i)$ に等しいこと（ヴァンデルモンドの行列式、$m=1$ のときは空積で $1$）は用いてよい。

$n$ を正の整数とし、${\mathbb{R}}^n$ には標準内積 $(x,y)=x^{\mathsf{T}}y$ を考える。$n$ 次実正方行列 $A$ が次の 2 つの条件を満たすとする。
$$(1)A^2=A(2)\mathrm{tr}(A^{\mathsf{T}}A)=\mathrm{rank}A$$
このとき、$A$ は対称行列である（すなわち $A^{\mathsf{T}}=A$ である）ことを証明せよ。

ただし、${\mathbb{R}}^n$ の部分空間の正規直交基底を ${\mathbb{R}}^n$ 全体の正規直交基底に延長できること（グラム・シュミットの直交化法）、$\mathrm{rank}A$ が像 $\mathrm{Im}A=\{Ax\mid x\in {\mathbb{R}}^n\}$ の次元に等しいこと、トレースの性質 $\mathrm{tr}(XY)=\mathrm{tr}(YX)$ は用いてよい。

$n$ を $3$ 以上の整数とする。$n^2$ 個の実数の未知数 $x_{ij}(1\le i,j\le n)$ についての、次の $2n+2$ 個の式からなる連立 1 次方程式を考える。$$\sum _{j=1}^n{x}_{ij}=0(i=1,2,\dots ,n),\sum _{i=1}^n{x}_{ij}=0(j=1,2,\dots ,n),$$ $$\sum _{i=1}^n{x}_{ii}=0,\sum _{i=1}^n{x}_{i,n+1-i}=0.$$ この連立 1 次方程式の解全体は ${\mathbb{R}}^{n^2}$ の部分空間をなす。その次元を $n$ の式で求めよ。

$n$ を $3$ 以上の整数とし、実数を成分とする $n$ 次正方行列全体のなす $n^2$ 次元実線形空間を $V$ とする。$V$ 上の 2 次形式
$$Q(X)=2\mathrm{tr}(X^2)-(\mathrm{tr}X{)}^2(X\in V)$$
を考える。$Q$ の符号（正の慣性指数 $p$ と負の慣性指数 $q$）を、$(p,q)$ の組として $n$ の式で求めよ。

$n$ を正の整数とし、$E$ を $n$ 次単位行列とする。$n$ 次実正方行列 $A$ が
$$A^2-3A+2E=O$$
を満たすとする（$O$ は $n$ 次零行列）。このとき、ある $n$ 次実正則行列 $P$ が存在して、$P^{-1}AP$ が対角成分がすべて $1$ または $2$ である対角行列になることを証明せよ。

ただし、${\mathbb{R}}^n$ の部分空間 $U,W$ について $\dim (U+W)=\dim U+\dim W-\dim (U\cap W)$ が成り立つことは用いてよい。