行列式

行列式を余因子展開と基本変形で計算し、多重線形性・交代性・積の行列式の性質を使える

前提

行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）

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算数中学高校大学大学院

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和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）

説明

行列式は、正方行列 $A$ に 1 つの数 $det A$ を対応させるものです。2 次の逆行列で現れた $a d - b c$ を $n$ 次へ広げたもので、逆行列が存在するための必要条件 $det A \neq = 0$ を与えます。また、変換で面積や体積が何倍になるか（向きも含めて）を表します。この技能では、余因子展開と行の基本変形で行列式を手際よく計算し、多重線形性・交代性・積の行列式の性質を使えるようにします。

なぜそうしてよいのか

【定義】2 次の $A = (a c b d)$ の逆行列は $\frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$ で、 $a d - b c \neq = 0$ が存在の条件でした。 $a d$ と $b c$ は、どちらも各行から成分を 1 つずつ、列が重ならないように選んで掛けたものです（ $a d$ は列 $1, 2$ 、 $b c$ は列 $2, 1$ ）。 $n$ 次でも同じように選ぶと、第 $1, \dots, n$ 行で選ぶ列番号の並び $σ = (σ (1), \dots, σ (n))$ は $1, \dots, n$ の順列になり、全部で $n!$ 通りあります。転倒数（ $i < j$ なのに $σ (i) > σ (j)$ となる組 $(i, j)$ の個数）が偶数なら $sgn (σ) = + 1$ 、奇数なら $- 1$ と決めて、 $det A = σ \sum sgn (σ) a_{1 σ (1)} a_{2 σ (2)} \dots a_{nσ (n)}$ と定義します。 $n = 2$ のときは $a d - b c$ になります。

【行についての性質】(1) 多重線形性：各項は第 $i$ 行の成分をちょうど 1 つだけ含みます。そのため、第 $i$ 行を $u + v$ にした行列式は、第 $i$ 行を $u$ にしたものと $v$ にしたものの和になります。また、第 $i$ 行を $c$ 倍すると行列式も $c$ 倍になります。(2) 交代性：隣り合う 2 つの行を入れ替えると、各項の列番号の並びで隣り合う 2 つの数が入れ替わります。このとき変わるのはその 2 つの組の大小関係だけなので、転倒数はちょうど 1 増えるか 1 減ります。第 $p$ 行と第 $q$ 行（ $p < q$ ）の入れ替えは、隣どうしの入れ替えを $2 (q - p) - 1$ 回（奇数回）行うことと同じです。よって、どの 2 行を入れ替えても行列式は $- 1$ 倍になります。特に同じ行が 2 つあれば $det A = - det A$ より $det A = 0$ です。(3) ある行に別の行の $c$ 倍を加えても、行列式は変わりません。線形性で分けると「元の行列式 $+ c \times$ （同じ行が 2 つある行列式 $= 0$ ）」になるからです。(4) 上三角行列では、対角より下の成分を選ぶ項は 0 になります。0 でない成分だけを選べる並びは恒等順列 $(1, 2, \dots, n)$ しかないので、行列式は対角成分の積です。(5) 転置： $^{t} A$ の $(i, j)$ 成分は $a_{j i}$ なので、 $det^{t} A = \sum_{σ} sgn (σ) a_{σ (1) 1} \dots a_{σ (n) n}$ です。この積を行番号の順に並べ替えます。 $σ$ の逆の並び $τ = σ^{- 1}$ （ $σ (j) = i$ のとき $τ (i) = j$ ）を使うと、積は $a_{1 τ (1)} \dots a_{n τ (n)}$ になります。 $σ$ の転倒の組 $(i, j)$ と、 $τ$ の転倒の組 $(σ (j), σ (i))$ は 1 対 1 に対応するので、 $sgn (σ) = sgn (τ)$ です。さらに $σ \mapsto σ^{- 1}$ は順列全体を 1 回ずつ動くので、 $det^{t} A = det A$ となります。列は $^{t} A$ の行なので、(1)〜(3) は列についてもそのまま成り立ちます。

【余因子展開】まず $σ (1) = 1$ の項を集めます。これらは $a_{11} \sum sgn (σ) a_{2 σ (2)} \dots a_{nσ (n)}$ と書けます。 $(σ (2), \dots, σ (n))$ は $2, \dots, n$ の順列全体を動き、先頭の $1$ はどの数とも転倒しないので、転倒数は残りの並びの転倒数と等しくなります。したがって和の部分は、第 1 行と第 1 列を除いた行列の行列式 $det A_{11}$ そのものです。一般の $a_{ij}$ については、第 $i$ 行を隣どうしの入れ替え $i - 1$ 回で一番上へ、第 $j$ 列を $j - 1$ 回で一番左へ動かします。残りの行・列の順番は変わらないので、小行列は $A_{ij}$ のままで、符号は $(- 1)^{(i - 1) + (j - 1)} = (- 1)^{i + j}$ だけ付きます。どの項も第 $i$ 行の成分をちょうど 1 つ含むので、 $a_{ij}$ ごとに分けて足すと $det A = \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{i + j} a_{ij} det A_{ij}$ が得られます。(5) により、列に沿った展開も同様にできます。【積の行列式】 $B$ の第 $k$ 行を $b_{k}$ とすると、 $(A B)_{ij} = \sum_{k} a_{ik} b_{k j}$ なので、 $A B$ の第 $i$ 行は $\sum_{k} a_{ik} b_{k}$ です。各行で多重線形性を使うと、 $det (A B) = k_{1}, \dots, k_{n} \sum a_{1 k_{1}} \dots a_{n k_{n}} det (b_{k_{1}}, \dots, b_{k_{n}})$ となります（右の $det$ は、第 $i$ 行が $b_{k_{i}}$ の行列の行列式）。 $k$ に重複があれば同じ行が 2 つあるので 0 です。残るのは $(k_{1}, \dots, k_{n})$ が順列 $σ$ の項だけです。並び $σ$ は、転倒している隣どうしを 1 回入れ替えるごとに転倒数がちょうど 1 減るので、転倒数と同じ回数の隣接入れ替えで $(1, \dots, n)$ に戻せます。よって $det (b_{σ (1)}, \dots, b_{σ (n)}) = sgn (σ) det B$ となり、 $det (A B) = \sum_{σ} sgn (σ) a_{1 σ (1)} \dots a_{nσ (n)} det B = det A det B$ です。 $A$ が逆行列をもつときは、 $A A^{- 1} = E$ と $det E = 1$ から $det A det A^{- 1} = 1$ です。よって $det A \neq = 0$ が必要で、 $det A^{- 1} = \frac{1}{d e t A}$ となります。

手順

0 の多い行・列を探す。なければ「ある行（列）に別の行（列）の $c$ 倍を加える」変形で、1 つの列（または行）の成分を 1 つだけ残して 0 にする（この変形では行列式は変わらない）
行の入れ替えをしたら $- 1$ 倍、ある行を $c$ 倍したら $c$ 倍、と行列式の倍率を記録しておき、最後に補正する
0 が並んだ行（列）で余因子展開する： $det A = \sum_{j} (- 1)^{i + j} a_{ij} det A_{ij}$ 。符号 $(- 1)^{i + j}$ は、左上を $+$ とする市松模様になる
2 次まで下がったら $a d - b c$ で計算する。三角行列になったら対角成分の積を取る
積・スカラー倍・転置・逆行列が関わるときは、 $det (A B) = det A det B$ 、 $det (c A) = c^{n} det A$ （ $n$ 次）、 $det^{t} A = det A$ 、 $det A^{- 1} = \frac{1}{d e t A}$ を使う

例題

$A = 24 - 2 132315$ の行列式 $det A$ を求めよ。

例題の解答

手順1：第 1 列の $2$ 以外を 0 にする。第 2 行から第 1 行の 2 倍を引き、第 3 行に第 1 行を加えると $det A = det 200113 3 - 5 8$ となる。ある行に別の行の定数倍を加えただけなので、行列式は変わらない。
手順2：行の入れ替えも行の定数倍も使っていないので、倍率は $1$ のままである。
手順3：第 1 列で余因子展開する。 $(1, 1)$ 成分の符号は $(- 1)^{1 + 1} = + 1$ で、第 1 列の残りの成分は 0 なので $det A = 2 \cdot det (13 - 5 8) .$
手順4： $det (13 - 5 8) = 1 \cdot 8 - (- 5) \cdot 3 = 23$ より、 $det A = 2 \cdot 23 = 46$ 。
（検算：定義の $3! = 6$ 項を直接計算すると、 $30 - 4 - 20 - 2 + 24 + 18 = 46$ で一致する。）

答え: $46$

よくある誤り

$det (c A) = c det A$ としてしまう誤り。正しくは、 $c A$ は $n$ 行すべてが $c$ 倍されているので $det (c A) = c^{n} det A$ 。例：3 次なら $det (2 A) = 8 det A$ 。
「第 2 行を、第 2 行の 2 倍から第 1 行を引いたものに置き換える」変形でも、行列式は変わらないとしてしまう誤り。正しくは、変形する行自身を 2 倍しているので行列式は 2 倍になる。変わらないのは「ある行に別の行の定数倍を加える」変形だけである。
余因子展開で符号 $(- 1)^{i + j}$ を落とし、 $det A = \sum_{j} a_{ij} det A_{ij}$ としてしまう誤り。正しくは $det A = \sum_{j} (- 1)^{i + j} a_{ij} det A_{ij}$ 。たとえば 3 次で第 1 行に沿って展開すると、符号は $+, -, +$ になる。
$det (A + B) = det A + det B$ としてしまう誤り。行列式は和について成り立たない。例： $A = B = E$ （2 次）なら $det (2 E) = 4$ だが、 $det E + det E = 2$ である。成り立つのは、積についての $det (A B) = det A det B$ と、1 つの行ごとの線形性である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

余因子行列とクラメルの公式（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
微分形式の外積と外微分（大学院数学微分幾何）
ベクトル場の零点の指数（大学院数学微分トポロジー・特性類）
ザイフェルト行列とアレクサンダー多項式（大学院数学結び目理論）
整数行列の単因子（スミス標準形）（大学院数学群論）
2 次体の整数環と判別式（大学院数学代数的整数論）