解析力学の問題

なめらかな水平な直線上に、左から順に質量 $m$ の質点 1、質量 $2m$ の質点 2、質量 $m$ の質点 3 が並んでいる。質点 1 と質点 2、質点 2 と質点 3 は、それぞればね定数 $k$ の軽いばねでつながれており、壁などには固定されていない。質点は直線に沿ってだけ動き、摩擦や空気抵抗は無視する。

各質点のつり合いの位置（ばねが自然長の位置）からの変位を $x_1$, $x_2$, $x_3$ とし、ラグランジアンから運動方程式を導いて基準振動を求める。基準振動の角振動数のうち $0$ でないものを、小さい方、大きい方の順に組で、$k$ と $m$ を用いて表せ。

同じ高さにある 2 つの固定点 O${}_1$, O${}_2$ から、長さ $l$ の軽くて変形しない棒の先に質量 $m$ の小球をつけた振り子をそれぞれつるす。2 つの振り子は同じ鉛直面内で振れ、支点はなめらかである。2 本の棒のそれぞれの中点（支点から距離 $\frac{l}{2}$ の点）どうしを、ばね定数 $k$ の軽いばねでつなぐ。O${}_1$O${}_2$ 間の距離はばねの自然長に等しく、2 本の棒が鉛直のときばねは水平で自然長である。

棒が鉛直下向きとなす角をそれぞれ ${\theta }_1,{\theta }_2$（同じ向きを正とする）として、つり合いの位置のまわりの微小振動を考える。2 つの基準振動の角振動数のうち、大きいほうを $m,g,l,k$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。微小振動では、ばねの伸びは 2 つの中点の水平方向の変位の差で近似してよい。

なめらかな水平な床の上に、質量 $m$ の台車が置かれている。台車は、左側の固定された壁とばね定数 $k$ の軽いばねでつながれ、ばねの方向（水平な $x$ 方向）にだけ動く。台車には、長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸の先に質量 $m$ の小球をつけた振り子がつるされており、振り子はばねを含む鉛直面内で振れる。ばね定数は $k=\frac{mg}{l}$ である（$g$ は重力加速度の大きさ）。空気抵抗・摩擦は無視し、糸はたるまないものとする。

ばねが自然長で振り子が鉛直に垂れた状態を平衡状態とし、台車の平衡位置からの変位を $x$、振り子の糸が鉛直下向きとなす角を $\theta$ とする。平衡状態のまわりの微小振動について、2 つの基準振動の角振動数のうち、大きい方を小さい方で割った比を求めよ。

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できる、質量 $2m$、半径 $R$ の一様な円板の滑車がある（軸のまわりの慣性モーメントは $\frac{1}{2}(2m)R^2=m{R}^2$）。滑車には軽くて伸びない糸がかけられ、糸の一端に質量 $m$ のおもり A、他端に質量 $3m$ のおもり B がつり下げられている。糸は滑車に対してすべらず、A と B はそれぞれ鉛直方向にだけ運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

B の鉛直下向きの変位 $x$ を一般化座標としてラグランジアンを書き、オイラー・ラグランジュ方程式から B の加速度 $\ddot{x}$ を求めよ。答えは $g$ を用いて表せ。

なめらかな水平な台の上に、質量 $m$ の小物体 P が置かれている。台には小さな穴 O があいていて、P につけた軽くて伸び縮みしない糸が O を通って台の下に垂れ下がり、その先に質量 $M$ のおもり Q がつるされている。Q は鉛直方向にだけ動き、糸は常にたるまないものとする。台面上で O を原点とする極座標 $(r,\theta )$ を用いて P の位置を表し、重力加速度の大きさを $g$ とする。糸と穴の間の摩擦、空気抵抗、P と Q の大きさは無視する。

P が O を中心とする半径 $r_0(>0)$ の等速円運動をしているときに、P をわずかに動径方向へ乱した。このとき、角運動量を保ったまま $r$ は $r_0$ のまわりで微小振動する。ラグランジアンを立ててオイラー・ラグランジュ方程式を導き、この微小振動の角振動数を $M,m,g,r_0$ を用いて求めよ。