変位・速度・加速度（直線運動）

正の向きを決めて、直線上の変位 $Δ x$ 、平均の速度 $v ˉ = \frac{Δ x}{Δ t}$ 、加速度 $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ を符号つきで求められる。変位（向きあり）と道のり（向きによらない長さ）を区別できる

前提

斜面の運動と等速直線運動（中学理科運動とエネルギー）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）

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算数中学高校大学大学院

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速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
記録タイマーの打点と速さ（中学理科運動とエネルギー）
斜面の運動と等速直線運動（中学理科運動とエネルギー）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）

説明

直線上を動く物体について、「どちら向きに、どれだけ位置が変わったか（変位）」「平均してどちら向きに、どれだけの割合で位置が変わったか（平均の速度）」「速度がどれだけの割合で変化したか（加速度）」を、正の向きを決めて符号つきの数で表せるようになります。車の発進・ブレーキ、ボールの投げ上げ、往復運動など、直線上の運動を調べるときに最初に必ず使う考え方です。また、行って戻る運動では、実際に進んだ長さ（道のり）と変位が違う値になります。この 2 つを区別できるようになります。

なぜそうしてよいのか

直線上の運動では、まず直線に数直線を重ね、原点と正の向きを決めます。すると物体の位置は 1 つの数 $x$ （座標）で表せます。時刻 $t_{1}$ に位置 $x_{1}$ 、時刻 $t_{2}$ に位置 $x_{2}$ にいたとします。このときの位置の変化 $Δ x = x_{2} - x_{1}$ を変位といいます（ $Δ$ は「あと − まえ」の変化量を表す記号です）。 $Δ x > 0$ なら正の向きに、 $Δ x < 0$ なら負の向きに位置が移ったことを表します。 $∣Δ x ∣$ は始めと終わりの位置の間の距離です。途中で何回折り返しても、変位は始めと終わりの位置だけで決まります。これに対し、実際に動いた長さの合計を道のりといいます。道のりは向きによらず、常に $0$ 以上です。

平均の速度は、変位をかかった時間 $Δ t = t_{2} - t_{1}$ （ $> 0$ ）で割ったもの $v ˉ = \frac{Δ x}{Δ t}$ です。中学で習った「速さ = 道のり ÷ 時間」と形は同じです。ただし分子が変位なので符号がつき、向きの情報も持ちます。 $Δ t$ をごく短くとったときの平均の速度が、その時刻の（瞬間の）速度 $v$ です。

同じように、速度がどれだけの割合で変わるかを表すのが加速度です。時間 $Δ t$ の間に速度が $v_{1}$ から $v_{2}$ に変わったとき、 $a = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v _{2} - v _{1}}{Δ t}$ とします。 $Δ t$ が有限のときは平均の加速度で、ごく短くとると瞬間の加速度になります。単位は m/s を s で割るので m/s $^{2}$ です。 $a$ の符号は「速度が正の向きに変化したか、負の向きに変化したか」を表すもので、それだけでは速くなる・遅くなるは決まりません。速さが増えるか減るかは、その瞬間の速度と加速度の符号を比べて判断します。符号が同じならその瞬間に速さは増えつつあり、逆なら減りつつあります。たとえば、加速度が一定で速度と逆向きの場合を考えます。このときは速度が $0$ になるまでは速さが減り、そのあとは向きが反対になって速さが増えていきます。具体的に、 $v = + 2.0$ m/s の物体に $a = - 3.0$ m/s $^{2}$ が $2.0$ s 続くと、速度は $2.0 + (- 3.0) \times 2.0 = - 4.0$ m/s になります。この間の平均の加速度は負ですが、速さは $2.0$ m/s から $4.0$ m/s に増えています。このように、ある時間の間の平均の加速度の符号だけでは、その間に速さが増えたか減ったかは決まりません。

手順

原点と正の向きを決める（問題文で決められていればそれに従う）。負の向きの速度は負の数で表す。
始めと終わりの位置 $x_{1}, x_{2}$ 、速度 $v_{1}, v_{2}$ 、時刻 $t_{1}, t_{2}$ を符号つきで書き出す。
変位を「あと − まえ」で求める： $Δ x = x_{2} - x_{1}$ 。途中の経路は使わない（道のりを聞かれたときだけ、区間ごとの長さを足す）。
平均の速度を求める： $v ˉ = \frac{Δ x}{Δ t}$ （ $Δ t = t_{2} - t_{1}$ ）。
加速度を求める： $a = \frac{v _{2} - v _{1}}{Δ t}$ 。単位は m/s $^{2}$ 。
答えの符号を向きに読みかえて確かめる（正なら正の向き、負なら負の向き）。

例題

東西にのびるまっすぐな道に $x$ 軸をとり、東向きを正とする。時刻 $0$ s に $x = + 2.0$ m にいた人が、東へ歩いて $x = + 8.0$ m まで行った。そこで折り返して西へ歩き、時刻 $6.0$ s に $x = - 1.0$ m に着いた。時刻 $0$ s から $6.0$ s までの平均の速度は何 m/s か。東向きを正として符号をつけ、有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1：東向きを正とする（問題文の指定どおり）。
手順2：始めは $x_{1} = + 2.0$ m（ $t_{1} = 0$ s）、終わりは $x_{2} = - 1.0$ m（ $t_{2} = 6.0$ s）。途中の $x = + 8.0$ m は変位には使わない。
手順3：変位は $Δ x = x_{2} - x_{1} = (- 1.0) - (+ 2.0) = - 3.0$ m。
手順4： $Δ t = 6.0 - 0 = 6.0$ s より、 $v ˉ = \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{- 3.0}{6.0} = - 0.50$ m/s。
手順6：答えが負なので、平均すると西向きに毎秒 $0.50$ m の割合で位置が移ったことを表す。
（参考：道のりは $6.0 + 9.0 = 15$ m である。 $15 \div 6.0 = 2.5$ m/s は平均の速さで、平均の速度ではない。）

答え: $- 0.50$

よくある誤り

変位のかわりに道のりで割ってしまう誤り。例題で $\frac{15}{6.0} = 2.5$ m/s とするのは平均の速さである。正しくは変位を使って $v ˉ = \frac{- 3.0}{6.0} = - 0.50$ m/s。
変化量を「まえ − あと」で計算して符号が逆になる誤り。 $Δ x = x_{1} - x_{2} = + 3.0$ m ではなく、正しくは $Δ x = x_{2} - x_{1} = - 3.0$ m。加速度も $a = \frac{v _{2} - v _{1}}{Δ t}$ の順に引く。
負の向きに動いているときの速度を、正の数のまま代入する誤り。東向きを正とし、東へ $6.0$ m/s で動いていた物体が、 $3.0$ s 後に西へ $3.0$ m/s で動いていたとする。 $\frac{3.0 - 6.0}{3.0} = - 1.0$ m/s $^{2}$ とするのは誤り。正しくは $v_{2} = - 3.0$ m/s として、 $a = \frac{- 3.0 - 6.0}{3.0} = - 3.0$ m/s $^{2}$ 。
加速度が負なら必ず遅くなると思い込む誤り。正しくは、その瞬間の速度と加速度の符号を比べる。例えば $v = - 2.0$ m/s のとき、一定の加速度 $a = - 1.0$ m/s $^{2}$ がはたらくとする。 $1.0$ s 後の速度は $- 2.0 + (- 1.0) \times 1.0 = - 3.0$ m/s で、速さは増えている。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

v-t グラフと移動距離（高校物理運動の表し方）
速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）