速度の合成と分解

速度をベクトルとして扱い、水に対する船の速度と流れの速度の合成などから地面に対する速度の大きさ・向きを求められる。速度を直交する 2 成分 $v cos θ$ , $v sin θ$ に分解できる

前提

変位・速度・加速度（直線運動）（高校物理運動の表し方）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）

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算数中学高校大学大学院

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三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）

説明

速度は「速さ」と「向き」をもつ量なので、ベクトルとして足したり分けたりできます。この技能を使うと、流れのある川を進む船や風の中を飛ぶ飛行機のように、2 つの運動が重なったときの地面に対する速度の大きさと向きを求められます。逆に、斜めの速度を直交する 2 方向（たとえば水平と鉛直）の成分 $v cos θ$ , $v sin θ$ に分けて、方向ごとに別々に考えることもできます。

なぜそうしてよいのか

川を進む船を考えます。短い時間 $Δ t$ の間に、船は水に対して $v_{1} Δ t$ だけ移動し、その水そのものが地面に対して $v_{2} Δ t$ だけ流されます。地面から見た船の変位は、この 2 つの変位をつないだもの、つまりベクトルの和 $v_{1} Δ t + v_{2} Δ t$ です。これを $Δ t$ で割ると、地面に対する速度は $V = v_{1} + v_{2}$ になります。変位がベクトルとして足し合わされるので、変位を時間で割った速度もベクトルとして足してよいのです。これを速度の合成といいます。

逆に、1 つの速度を 2 つの速度の和に分けることを速度の分解といいます。互いに垂直な $x$ 軸・ $y$ 軸を決め、速さ $v$ の速度が $x$ 軸の正の向きから $y$ 軸の正の側へ角 $θ$ だけ回った向きを向いているとします。 $θ$ が鋭角なら、速度ベクトルを斜辺とする直角三角形を作ると、三角比の定義から底辺（ $x$ 方向）は $v cos θ$ 、高さ（ $y$ 方向）は $v sin θ$ です。 $θ$ が $9 0^{\circ}$ 以上 $18 0^{\circ}$ 以下のときも、単位円による三角比の定義（半径 1 の円周上で角 $θ$ の点の座標が $(cos θ, sin θ)$ ）を $v$ 倍すれば、同じ式がそのまま成り立ちます。たとえば $θ = 12 0^{\circ}$ なら $x$ 成分は $v cos 12 0^{\circ} = - \frac{v}{2}$ と負になり、向きが $x$ 軸の負の側であることが符号に自動的に表れます。よって $v = (v cos θ, v sin θ)$ と書けます。

成分に分ければ、合成は「 $x$ 成分どうし、 $y$ 成分どうしを足す」だけの計算になり、合成した速度の大きさは三平方の定理で求められます。

手順

座標軸を決める：互いに垂直な $x$ 軸・ $y$ 軸と、それぞれの正の向きを決める（例：下流向きを $x$ 、対岸向きを $y$ ）。
各速度を成分に分解する： $x$ 軸の正の向きから $y$ 軸の正の側へ角 $θ$ （ $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ ）回った向きの速さ $v$ の速度は $(v cos θ, v sin θ)$ 。軸に平行な速度は、向きに応じて符号をつけた一方の成分だけをもつ（負の向きならマイナス）。
成分ごとに足して合成する： $V_{x} = v_{1 x} + v_{2 x}$ , $V_{y} = v_{1 y} + v_{2 y}$ 。
合成速度の大きさを求める： $V = V_{x}^{2} + V_{y}^{2}$ 。
向きが必要なら、 $x$ 軸の正の向きとなす角 $φ$ を $cos φ = \frac{V _{x}}{V}$ , $sin φ = \frac{V _{y}}{V}$ の両方を満たすように決める。 $V_{y} \geq 0$ なら $φ$ は $y$ 軸の正の側へ測った $0^{\circ} \leq φ \leq 18 0^{\circ}$ の角で、 $V_{x} < 0$ のとき $φ$ は鈍角。 $tan φ = \frac{V _{y}}{V _{x}}$ （ $V_{x} \neq = 0$ ）を使う場合も、 $V_{x}$ , $V_{y}$ の符号でどちら側を向くかを確かめてから角を決める。 $V_{y} < 0$ のときは $y$ 軸の負の側へ測った角として同様に求める。

例題

まっすぐな川が一定の速さ $3.0 m/s$ で流れている。静水に対する速さが $4.0 m/s$ の船が、船首を川岸に垂直な向き（対岸の向き）に向けて進む。流れの速さは川のどこでも同じとする。岸（地面）に対する船の速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1（軸を決める）：下流向きを $x$ 軸の正の向き、対岸に向かう向き（岸に垂直）を $y$ 軸の正の向きとする。

手順 2（成分に分解）：水に対する船の速度は $y$ 軸の正の向きなので $v_{1} = (0, 4.0)$ 。流れの速度は $x$ 軸の正の向きなので $v_{2} = (3.0, 0)$ （単位は m/s）。

手順 3（成分ごとに合成）：岸に対する船の速度 $V$ は
$V_{x} = 0 + 3.0 = 3.0, V_{y} = 4.0 + 0 = 4.0$

手順 4（大きさ）：
$V = 3. 0^{2} + 4. 0^{2} = 25 = 5.0 m/s$

手順 5（向き・参考）： $cos φ = \frac{3.0}{5.0}$ , $sin φ = \frac{4.0}{5.0}$ で、 $V_{x} > 0$ , $V_{y} > 0$ なので $φ$ は鋭角。船は対岸の真正面ではなく、下流側へずれながら進む。

答え： $5.0 m/s$

答え: $5.0$

よくある誤り

向きの違う速度の速さをそのまま足してしまう誤り。例題で $4.0 + 3.0 = 7.0 m/s$ とするのは誤り。正しくは成分ごとに足してから $3. 0^{2} + 4. 0^{2} = 5.0 m/s$ とする。速さを単純に足し引きしてよいのは、2 つの速度が同じ直線上にあるときだけ。
角をどの軸から測ったかを確かめずに $cos$ と $sin$ を取り違える誤り。 $v cos θ$ が $x$ 成分になるのは、 $θ$ を $x$ 軸の正の向きから測ったとき。速度が $y$ 軸の正の向きから $x$ 軸の正の側へ角 $α$ 傾いた向きなら、 $x$ 成分は $v sin α$ 、 $y$ 成分は $v cos α$ になる（ $x$ 軸の負の側へ傾いていれば $x$ 成分は $- v sin α$ ）。
向きを $tan φ = \frac{V _{y}}{V _{x}}$ の値だけで決めてしまう誤り。たとえば $V_{x} = - 3.0$ , $V_{y} = 4.0$ と $V_{x} = 3.0$ , $V_{y} = - 4.0$ は $tan φ$ がどちらも $- \frac{4}{3}$ だが向きは逆。正しくは $cos φ = \frac{V _{x}}{V}$ , $sin φ = \frac{V _{y}}{V}$ の符号まで合うように角を決める（前者は $y$ 軸の正の側への鈍角の向き）。
負の向きを向いた成分の符号を落とす誤り。たとえば上流向き（ $x$ 軸の負の向き）に $2.0 m/s$ の成分をもつ速度は $v_{x} = - 2.0$ とする。これを $+ 2.0$ として $V_{x} = 3.0 + 2.0$ と計算するのは誤りで、正しくは $V_{x} = 3.0 + (- 2.0) = 1.0$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

相対速度（高校物理運動の表し方）
水平投射（高校物理運動の表し方）
拘束のある系と一般化座標（大学物理解析力学）