相対速度

A から見た B の速度 $v_{A B} = v_{B} - v_{A}$ を、一直線上では符号で、平面上ではベクトルの差として求められる（例: 走る人から見た雨滴の速さ）

前提

速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）

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算数中学高校大学大学院

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速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）

説明

動いている人や乗り物から見ると、ほかの物体の速度は地面から見たときとは違って見えます。この技能を使うと、観測者 A から見た物体 B の速度（相対速度） $v_{A B}$ を、地面に対するそれぞれの速度から求められます。並んで走る車どうしの見え方、走る人から見た雨の降り方、すれ違う船の見え方などを調べるときに使います。

なぜそうしてよいのか

地面に原点をとり、時刻 $t$ での A, B の位置ベクトルを $r_{A}$ , $r_{B}$ とします。A から見た B の位置は、A から B へ向かうベクトル $r_{B} - r_{A}$ です。短い時間 $Δ t$ の間に A, B がそれぞれ $Δ r_{A}$ , $Δ r_{B}$ だけ移動すると、A から見た B の位置は $Δ r_{B} - Δ r_{A}$ だけ変わります。これを $Δ t$ で割れば、A から見た B の速度は $v_{A B} = \frac{Δ r _{B} - Δ r _{A}}{Δ t} = v_{B} - v_{A}$ となります。つまり「相手の速度から自分の速度を引く」ことが、自分が止まっているとみなして相手を見ることにあたります。

この式は $v_{B} = v_{A} + v_{A B}$ と書き直せます。これは前提の技能の「地面に対する船の速度＝流れの速度＋水に対する船の速度」と同じ形の速度の合成です。相対速度は、この合成の式を逆向きに使って、未知の部分を引き算で取り出したものだと考えられます。

一直線上の運動では、向きを正負の符号で表せば、ベクトルの差はふつうの数の引き算になります。平面上の運動では、成分ごとに引き算をしてから、三平方の定理や三角比で大きさと向きを求めます。

手順

観測者 A と、見られる物体 B をはっきり決める（「A から見た B」）。
地面を基準に座標の向きを決める。一直線上なら正の向き、平面上なら $x$ 軸・ $y$ 軸をとる。
地面に対する A, B の速度を、符号つきの値または成分で書く。例: $v_{A} = (v_{A x}, v_{A y})$ , $v_{B} = (v_{B x}, v_{B y})$
相手から自分を引く: $v_{A B} = v_{B} - v_{A} = (v_{B x} - v_{A x}, v_{B y} - v_{A y})$ 。一直線上なら $v_{A B} = v_{B} - v_{A}$
結果を読み取る。一直線上では符号で向きを判断し、平面上では大きさ $v_{A B x}^{2} + v_{A B y}^{2}$ と、成分の比（三角比）から向きを求める。

例題

風のない日に、雨滴が地面に対して鉛直下向きに一定の速さ $4.0 m/s$ で落ちている。この中を、人が水平な地面の上で東向きに一定の速さ $3.0 m/s$ で走っている。人から見た雨滴の速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1: 観測者 A は走る人、見られる物体 B は雨滴である。
手順2: 東向きを $x$ 軸の正の向き、鉛直上向きを $y$ 軸の正の向きとする。
手順3: 地面に対する速度は、人が $v_{A} = (3.0, 0)$ 、雨滴が $v_{B} = (0, - 4.0)$ （単位は m/s）。
手順4: $v_{A B} = v_{B} - v_{A} = (0 - 3.0, - 4.0 - 0) = (- 3.0, - 4.0)$ 。
手順5: 大きさは $(- 3.0)^{2} + (- 4.0)^{2} = 9.0 + 16 = 5.0$ m/s。向きは西向き成分と下向き成分をもつので、人には雨が前方（東側）の斜め上から、鉛直から $tan θ = \frac{3.0}{4.0}$ を満たす角 $θ$ だけ傾いて降ってくるように見える。よって人から見た雨滴の速さは $5.0$ m/s である。

答え: $5.0$

よくある誤り

引く順番を逆にして $v_{A} - v_{B}$ としてしまう誤り。正しくは「相手 − 自分」で $v_{A B} = v_{B} - v_{A}$ 。例: 同じ向き（正の向き）に A が $20$ m/s、B が $15$ m/s で走るとき、A から見た B の速度は $15 - 20 = - 5$ m/s で、B は A から見て後ろ向き（負の向き）に $5$ m/s で動いて見える（ $+ 5$ m/s ではない）。B が A の前方にいれば A に近づいてくるように、後方にいれば遠ざかるように見える。
逆向きに進む物体で符号をつけ忘れ、 $15 - 20 = - 5$ m/s としてしまう誤り。正しくは、東向きを正として A が東向き $20$ m/s、B が西向き $15$ m/s なら $v_{B} = - 15$ なので $v_{A B} = - 15 - 20 = - 35$ m/s（A から見て B は西向きに $35$ m/s）。
平面上で速さだけを足し引きして $4.0 + 3.0 = 7.0$ m/s や $4.0 - 3.0 = 1.0$ m/s としてしまう誤り。正しくは成分ごとに引いて $(- 3.0, - 4.0)$ とし、大きさを $3. 0^{2} + 4. 0^{2} = 5.0$ m/s と求める。
走る人から見た雨が後ろから降ってくると考えてしまう誤り。正しくは $v_{A B}$ の水平成分が $0 - 3.0 = - 3.0$ で走る向きと逆向きなので、雨は前方の斜め上から向かってくるように見える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

相対運動と最接近距離（高校物理運動の表し方）
ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）
動く板・羽根に当たる噴流の力と動力（大学物理流体工学）