運動の表し方の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理運動の表し方

広くおだやかな海面上を、2 隻の船 A, B が進んでいる。A は東向きに一定の速さ $u$ で、B は南向きに一定の速さ $w$ で、それぞれまっすぐ進んでいる。ある時刻に、B は A の真北の距離 $d$ の位置にあった。その後、A と B の間の距離はしだいに小さくなり、ある時刻に最小になった後、大きくなっていった。A と B の間の距離の最小値を、 $d$ , $u$ , $w$ を用いて表せ。ただし、 $d$ , $u$ , $w$ は正の定数とし、船の大きさは無視する。また、海面は平面とみなし、海流はないものとする。

A

B

u

w

d

北

この問題で使うもの

相対運動と最接近距離（説明と入口の問題）
相対速度（説明と入口の問題）
平方完成と 2 次関数のグラフ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（45 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

A から見た B の運動を考えよう。A に対する B の相対速度は一定なので、A から見ると B は等速直線運動をする。

ヒント 2

相対速度は $v_{B} - v_{A} = (- u, - w)$ （東向き・北向きを正）。A から見た B の位置は $(- u t, d - w t)$ となる。

ヒント 3

距離の 2 乗 $(u^{2} + w^{2}) t^{2} - 2 d w t + d^{2}$ を $t$ について平方完成し、最小値を求める。

答えと解説

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\frac{u d}{u ^{2} + w ^{2}}

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解説を読む

A から見た B の運動（相対運動）を考える。東向きに $x$ 軸、北向きに $y$ 軸をとり、はじめの時刻を $t = 0$ とする。

地面（海面）に対する速度は $v_{A} = (u, 0)$ 、 $v_{B} = (0, - w)$ なので、A に対する B の相対速度は
$v_{AB} = v_{B} - v_{A} = (- u, - w)$
で一定である。A から見ると、B は $t = 0$ に位置 $(0, d)$ にあり、一定の速度 $(- u, - w)$ で等速直線運動をする。したがって時刻 $t$ における A から見た B の位置は
$(x, y) = (- u t, d - w t)$
で、A と B の距離を $r$ とすると
$r^{2} = u^{2} t^{2} + (d - w t)^{2} = (u^{2} + w^{2}) t^{2} - 2 d w t + d^{2}$

これを $t$ について平方完成すると
$r^{2} = (u^{2} + w^{2}) (t - \frac{d w}{u ^{2} + w ^{2}})^{2} + d^{2} - \frac{d ^{2} w ^{2}}{u ^{2} + w ^{2}}$
よって $t = \frac{d w}{u ^{2} + w ^{2}} (> 0)$ のとき $r^{2}$ は最小となり、その値は
$r_{m i n}^{2} = d^{2} \cdot \frac{u ^{2} + w ^{2} - w ^{2}}{u ^{2} + w ^{2}} = \frac{u ^{2} d ^{2}}{u ^{2} + w ^{2}}$
$r > 0$ より
$r_{m i n} = \frac{u d}{u ^{2} + w ^{2}}$

（図形的な見方）A から見た B の道すじは、点 $(0, d)$ を通り向き $(- u, - w)$ の直線である。最小距離は A（原点）からこの直線までの距離で、相対速度の向きと南向きのなす角を $θ$ とすると $sin θ = \frac{u}{u ^{2} + w ^{2}}$ より $d sin θ$ に等しい。

答えは $\frac{u d}{u ^{2} + w ^{2}}$ である。

別解

ある時刻を $t = 0$ とし、そのときの A の位置を原点、東向きを $x$ 軸正、北向きを $y$ 軸正とする。B は $(0, d)$ にある。
時刻 $t$ での A の位置は $(u t, 0)$ 、B の位置は $(0, d - w t)$ 。A から見た B の位置は $(- u t, d - w t)$ 。
距離の 2 乗は $D^{2} = u^{2} t^{2} + (d - w t)^{2} = (u^{2} + w^{2}) t^{2} - 2 d w t + d^{2}$ 。
$t$ の 2 次式として平方完成すると $D^{2} = (u^{2} + w^{2}) (t - \frac{d w}{u ^{2} + w ^{2}})^{2} + d^{2} - \frac{d ^{2} w ^{2}}{u ^{2} + w ^{2}} = (u^{2} + w^{2}) (t - \frac{d w}{u ^{2} + w ^{2}})^{2} + \frac{d ^{2} u ^{2}}{u ^{2} + w ^{2}}$ 。
$t = \frac{d w}{u ^{2} + w ^{2}} > 0$ のとき最小で、 $D_{m i n}^{2} = \frac{d ^{2} u ^{2}}{u ^{2} + w ^{2}}$ 。よって $D_{m i n} = \frac{d u}{u ^{2} + w ^{2}}$ 。
検算: A に対する B の相対速度は $(- u, - w)$ で、相対位置 $(0, d)$ から直線運動する。原点とこの直線との距離は $\frac{∣0 \cdot ( - w ) - d \cdot ( - u ) ∣}{u ^{2} + w ^{2}} = \frac{d u}{u ^{2} + w ^{2}}$ で一致する。最小になる時刻は $t > 0$ なので、問題文の「しだいに小さくなり、その後大きくなる」とも合う。

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