運動の表し方の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理運動の表し方

水平な地面上の点 O の真上を、気球が一定の速さ $u$ で鉛直に上昇している。気球の高さが $\frac{6 u ^{2}}{g}$ になった瞬間に、気球から小球 A を静かにはなした（気球に対して静かにはなしたので、はなした瞬間の A の速度は気球と同じである）。同じ瞬間に、点 O から小球 B を鉛直上向きに初速度の大きさ $3 u$ で投げ上げた。A と B は同じ鉛直線上を運動し、やがて空中で衝突した。

衝突した位置の地面からの高さを、 $u$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて表せ。ただし、小球の大きさと空気抵抗は無視し、気球は小球の運動に影響しないものとする。

O

A

B

u

3 u

\frac{6 u ^{2}}{g}

気球

A をはなし、B を投げ上げた瞬間のようす

この問題で使うもの

自由落下と鉛直投げ上げ（説明と入口の問題）
2 物体の出会いとすれ違い（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（33 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

A ははなした瞬間に気球と同じ上向きの速度 $u$ をもっている。A, B それぞれの高さを時刻 $t$ の式で表そう。

ヒント 2

A と B の加速度は同じなので、高さの差は $t$ の 1 次式になる。A から見た B の運動は等速直線運動である。

ヒント 3

衝突する時刻は $t = \frac{h}{3 u - u} = \frac{3 u}{g}$ 。これを B の高さの式に代入する。

答えと解説

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\frac{9 u ^{2}}{2 g}

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解説を読む

鉛直上向きを正とし、A をはなした（B を投げ上げた）時刻を $t = 0$ 、地面からの高さを $y$ とする。 $h = \frac{6 u ^{2}}{g}$ とおく。

A ははなした瞬間に気球と同じ速度 $u$ （上向き）をもつので、A は初速度 $u$ の鉛直投げ上げ運動をする。B は初速度 $3 u$ の鉛直投げ上げ運動をする。どちらも加速度は $- g$ なので
$y_{A} = h + u t - \frac{1}{2} g t^{2}, y_{B} = 3 u t - \frac{1}{2} g t^{2}$

衝突する時刻

2 つの小球の加速度は等しいので、差をとると $t^{2}$ の項が消える:
$y_{A} - y_{B} = h - 2 u t$
衝突するのは $y_{A} = y_{B}$ のときなので
$t_{1} = \frac{h}{2 u} = \frac{6 u ^{2} / g}{2 u} = \frac{3 u}{g}$
（A から見ると、B は一定の速さ $3 u - u = 2 u$ で近づいてくる、と考えてもよい。）

A が先に地面に着かないことの確認

A が地面に着く時刻は $h + u t - \frac{1}{2} g t^{2} = 0$ の正の解で、 $t = \frac{u + u ^{2} + 2 g h}{g} = \frac{( 1 + 13 ) u}{g}$ である。 $1 + 13 > 3$ なので、衝突は A が地面に着く前に起こる。

衝突の高さ
$y_{B} (t_{1}) = 3 u \cdot \frac{3 u}{g} - \frac{1}{2} g (\frac{3 u}{g})^{2} = \frac{9 u ^{2}}{g} - \frac{9 u ^{2}}{2 g} = \frac{9 u ^{2}}{2 g}$
（確認: $y_{A} (t_{1}) = \frac{6 u ^{2}}{g} + \frac{3 u ^{2}}{g} - \frac{9 u ^{2}}{2 g} = \frac{9 u ^{2}}{2 g}$ 。なお、このとき B の速度は $3 u - g \cdot \frac{3 u}{g} = 0$ で、B はちょうど最高点で A と衝突する。）

別解

A をはなし、B を投げた瞬間を $t = 0$ 、地面を原点として鉛直上向きを正とする。\n\nA は、はなした瞬間に気球と同じ上向きの速さ $u$ をもつ（初めの高さ $\frac{6 u ^{2}}{g}$ ）: $y_{A} = \frac{6 u ^{2}}{g} + u t - \frac{1}{2} g t^{2}$ 。\nB は O から上向きに初速度 $3 u$ : $y_{B} = 3 u t - \frac{1}{2} g t^{2}$ 。\n\n衝突の条件 $y_{A} = y_{B}$ より $\frac{6 u ^{2}}{g} + u t = 3 u t$ 、 $t = \frac{3 u}{g}$ 。\n\nこのときの高さ: $y_{B} = 3 u \cdot \frac{3 u}{g} - \frac{1}{2} g (\frac{3 u}{g})^{2} = \frac{9 u ^{2}}{g} - \frac{9 u ^{2}}{2 g} = \frac{9 u ^{2}}{2 g}$ 。\n\n検算: $y_{A} = \frac{6 u ^{2}}{g} + \frac{3 u ^{2}}{g} - \frac{9 u ^{2}}{2 g} = \frac{9 u ^{2}}{2 g}$ で一致。衝突の時刻 $t = \frac{3 u}{g}$ までに、A は地面に落ちない（高さが 0 以上）ことも $y_{A} > 0$ で確かめられ、B は $t = \frac{3 u}{g}$ でちょうど速度 $3 u - g t = 0$ の最高点にある。

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