運動の表し方の問題

空気抵抗を無視するので、小球には重力だけがはたらく。水平方向には速さ $12m/s$ の等速直線運動、鉛直方向には初速度 $19.6m/s$（上向き）、加速度 $-9.8m/{\mathrm{s}}^2$（上向きを正）の等加速度直線運動をする。

O を原点に、投げた向きに水平に $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとると、時刻 $t$ の位置は
$$x=12t,y=19.6t-4.9t^2$$

（壁の上端を越えることの確認）壁の位置 $x=20\mathrm{m}$ を通過するのは $t=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}\mathrm{s}$ で、そのときの高さは
$$y=19.6\times \frac{5}{3}-4.9\times \frac{25}{9}\fallingdotseq 32.7-13.6=19.1\mathrm{m}$$
で、壁の高さ $14.7\mathrm{m}$ より高いので、確かに壁の上を越える。

屋上（$y=14.7\mathrm{m}$）に達する時刻は
$$19.6t-4.9t^2=14.7$$
両辺を $4.9$ で割って整理すると
$$t^2-4t+3=0(t-1)(t-3)=0$$
$t=1.0\mathrm{s}$ のときは $x=12\mathrm{m}$ で、まだ壁より手前（上昇中に高さ $14.7\mathrm{m}$ を通過するだけ）である。屋上に落下するのは下降中の $t=3.0\mathrm{s}$ のときで、このとき
$$x=12\times 3.0=36\mathrm{m}$$
これは壁の位置 $20\mathrm{m}$ より先なので、屋上の上である。

答えは $36\mathrm{m}$ である。

O を原点、投げた向きを $x$ 軸正、鉛直上向きを $y$ 軸正とする。$v_x=12m/s$、$v_{y0}=19.6m/s$、$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$。
$x=12t$、$y=19.6t-4.9t^2$。
壁に達する時刻は $t_1=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}\approx 1.67\mathrm{s}$。そのときの高さは $y=19.6\times \frac{5}{3}-4.9\times \frac{25}{9}\approx 32.67-13.61=19.06\mathrm{m}>14.7\mathrm{m}$ なので、壁の上端より上を通過する（問題文と合う）。
屋上（高さ $14.7\mathrm{m}$）に落ちる時刻は $19.6t-4.9t^2=14.7$、すなわち $t^2-4t+3=0$ より $t=1,3\mathrm{s}$。
$t=1\mathrm{s}$ では $x=12\mathrm{m}<20\mathrm{m}$ で壁の手前（屋上の外）なので不適。上昇中に通過する高さにすぎない。$t=3\mathrm{s}$ は下降中で、$x=12\times 3=36\mathrm{m}>20\mathrm{m}$ なので屋上の上。
$t_1=1.67<t<3$ の間は $y>14.7$（2 次関数が $t=1$ と $t=3$ の間で $14.7$ より大きい）なので、小球は屋上より上を飛び、$t=3\mathrm{s}$ で屋上に落下する。
水平距離は $12\times 3=36\mathrm{m}$。
検算: $t=3$ で $y=58.8-44.1=14.7$ で屋上の高さと一致する。有効数字 2 桁で $36\mathrm{m}$。