運動の表し方の問題

鉛直上向きを正とし、A を投げ上げた時刻を $t=0$ とする。空気抵抗を無視するので、どちらの小球も加速度 $-9.80m/{\mathrm{s}}^2$ の等加速度直線運動をする。

時刻 $t$ における A の高さ $y_{\mathrm{A}}$ は
$$y_{\mathrm{A}}=19.6t-\frac{1}{2}\times 9.80t^2=19.6t-4.90t^2$$
B は $t=2.00\mathrm{s}$ に投げ上げたので、$t\geqq 2.00$ における B の高さ $y_{\mathrm{B}}$ は
$$y_{\mathrm{B}}=19.6(t-2.00)-4.90(t-2.00{)}^2$$
である。

同じ高さに並ぶとき $y_{\mathrm{A}}=y_{\mathrm{B}}$ なので
$$19.6t-4.90t^2=19.6(t-2.00)-4.90(t-2.00{)}^2$$
右辺を展開すると
$$19.6t-39.2-4.90t^2+19.6t-19.6=-4.90t^2+39.2t-58.8$$
よって
$$19.6t=39.2t-58.8$$
$$19.6t=58.8t=3.00\mathrm{s}$$

A が地面に戻るのは $19.6t-4.90t^2=0$ より $t=4.00\mathrm{s}$ なので、$t=3.00\mathrm{s}$ には A はまだ空中にある（B は投げ上げてから $1.00\mathrm{s}$ 後で、空中にある）。

このときの高さは
$$y_{\mathrm{A}}=19.6\times 3.00-4.90\times 3.00^2=58.8-44.1=14.7\mathrm{m}$$
確かめると $y_{\mathrm{B}}=19.6\times 1.00-4.90\times 1.00^2=14.7\mathrm{m}$ で一致する。

（別の見方）A は $t=2.00\mathrm{s}$ に最高点に達し、その後の運動は最高点について対称である。同じ初速度で投げた 2 つの小球は、A が最高点を過ぎてから $1.00\mathrm{s}$ 後（B の投げ上げから $1.00\mathrm{s}$ 後）に同じ高さになる、と考えることもできる。

答えは $14.7\mathrm{m}$ である。

鉛直上向きを正とし、A を投げ上げた時刻を $t=0$ とする。A の高さは $y_A=19.6t-\frac{1}{2}\times 9.80t^2=19.6t-4.90t^2$。B は $t=2.00$ s に投げ上げられるので、$t\ge 2.00$ s で、B の高さは $y_B=19.6(t-2.00)-4.90(t-2.00{)}^2$。\n\n同じ高さに並ぶ条件 $y_A=y_B$ より\n$19.6t-4.90t^2=19.6(t-2.00)-4.90(t^2-4.00t+4.00)$\n右辺を展開すると $19.6t-39.2-4.90t^2+19.6t-19.6$\n$=39.2t-58.8-4.90t^2$。\n\nよって $19.6t=39.2t-58.8$、$19.6t=58.8$、$t=3.00$ (s)。\n\nこのときの高さは $y_A=19.6\times 3.00-4.90\times 3.00^2=58.8-44.1=14.7$ (m)。\n\n確かめ: B は投げ上げてから $1.00$ s 後なので、$y_B=19.6\times 1.00-4.90\times 1.00^2=14.7$ (m) で一致する。このとき A の速度は $19.6-9.80\times 3.00=-9.8$ m/s（下向き）、B の速度は $19.6-9.80=9.8$ m/s（上向き）で、A は下降中、B は上昇中なので、すれ違う。最高点は $19.6^2/(2\times 9.80)=19.6$ m で、$14.7$ m はそれより低く、矛盾しない。\n\n答え: $14.7$ m。