自由落下と鉛直投げ上げ

鉛直方向の向きを決めて加速度を $\pm g$ とし、自由落下・鉛直投げ下ろし・鉛直投げ上げの小球の、ある時刻の速度・高さ、最高点の高さ、地面に達するまでの時間と直前の速さを求められる（例: 最高点の高さ $\frac{v _{0}^{2}}{2 g}$ ）

前提

等加速度直線運動の公式（高校物理運動の表し方）

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算数中学高校大学大学院

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等加速度直線運動の公式（高校物理運動の表し方）

説明

空気抵抗を無視すると、地面近くで投げたり落としたりした小球は、向きや速さに関係なく常に鉛直下向きに一定の加速度 $g$ （重力加速度の大きさ）で運動します。そこで「鉛直方向の正の向き」を決めて加速度を $+ g$ または $- g$ とおけば、等加速度直線運動の公式がそのまま使えます。これにより、自由落下（初速 0 で落とす）・鉛直投げ下ろし・鉛直投げ上げについて、ある時刻の速度や高さ、最高点の高さ、地面に達するまでの時間とそのときの速さを求められます。

なぜそうしてよいのか

空気抵抗を無視すると、小球にはたらく力は重力だけです。そのため、上昇中も下降中も最高点でも、加速度はいつも鉛直下向きで大きさ $g$ の一定値になります。つまりこれらの運動は、どれも一直線（鉛直線）上の等加速度直線運動です。加速度の符号は正の向きの取り方で決まり、上向きを正とすれば $a = - g$ 、下向きを正とすれば $a = + g$ です。

上向きを正、投げた点を原点として、高さ（変位）を $y$ 、初速度を $v_{0}$ とすると、等加速度直線運動の公式に $a = - g$ を代入して $v = v_{0} - g t, y = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}, v^{2} - v_{0}^{2} = - 2 g y$ が得られます。投げ上げた小球は速度が正から 0 を経て負に変わるので、最高点は $v = 0$ となる瞬間です。 $v = v_{0} - g t = 0$ より $t = \frac{v _{0}}{g}$ 、また $0 - v_{0}^{2} = - 2 g H$ より最高点の高さは $H = \frac{v _{0}^{2}}{2 g}$ となります。

自由落下では下向きを正とし $v_{0} = 0$ , $a = + g$ とすると $v = g t$ , $y = \frac{1}{2} g t^{2}$ , $v^{2} = 2 g y$ となり、高さ $h$ から落とした小球が地面に達する直前の速さは $2 g h$ です。鉛直投げ下ろしは、下向きを正として初速度 $v_{0}$ （正）、 $a = + g$ とするだけです。新しい公式を覚えるのではなく、「 $a = \pm g$ の等加速度運動」と見ることが要点です。

手順

鉛直方向の正の向き（上向きか下向きか）と原点（ふつうは投げた点・落とした点）を決める。
正の向きに合わせて加速度を決める：上向き正なら $a = - g$ 、下向き正なら $a = + g$ 。初速度 $v_{0}$ も向きに合わせて符号をつける。
求めたい量の条件を式で表す：最高点なら $v = 0$ 、地面に達するなら変位 $y$ が地面の位置（例：上向き正で高さ $h$ の点から投げたなら $y = - h$ ）。
未知量を含み、余計な未知量を含まない公式を選ぶ： $v = v_{0} + a t$ 、 $y = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ 、 $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a y$ のどれか。
方程式を解き、 $t > 0$ などの条件に合う解を選んで、符号の意味（向き）を確かめる。

例題

地面からの高さ $14.7 m$ の建物の屋上から、小球を初速度 $9.8 m/s$ で鉛直上向きに投げ上げた。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とし、空気抵抗は無視する。小球が地面に達するのは投げてから何 s 後か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1：鉛直上向きを正、屋上の投げた点を原点とする。
手順2：加速度は $a = - 9.8 m/ s^{2}$ 、初速度は上向きなので $v_{0} = + 9.8 m/s$ 。
手順3：地面は原点より $14.7 m$ 下なので、地面に達するとき $y = - 14.7 m$ 。
手順4：時間 $t$ と変位 $y$ の関係なので $y = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ を使う。 $- 14.7 = 9.8 t - \frac{1}{2} \times 9.8 t^{2} = 9.8 t - 4.9 t^{2}$
手順5：両辺を整理して $4.9 t^{2} - 9.8 t - 14.7 = 0$ 。両辺を $4.9$ で割ると $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ 、因数分解して $(t - 3) (t + 1) = 0$ 。 $t > 0$ より $t = 3$ 。この式は上昇して最高点で折り返し、落下する運動全体を 1 本で表しているので、途中で分けて計算する必要はない。よって答えは $3.0 s$ 後。

答え: $3.0$

よくある誤り

上向きを正にしたのに加速度を $a = + g$ としてしまう誤り。正しくは、重力加速度は常に下向きなので、上向き正なら $a = - g$ で $y = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ 。
最高点では加速度も 0 になると考えてしまう誤り。正しくは、最高点で 0 になるのは速度だけ（ $v = 0$ ）で、加速度はそのときも $- g$ （上向き正）のまま。
高さ $h$ の点から投げて地面に達する条件を $y = + h$ としてしまう誤り。正しくは、上向き正・投げた点を原点とすると地面は原点より下なので $y = - h$ （例題では $y = - 14.7$ ）。
2 次方程式の解をそのまま両方答えたり、負の解 $t = - 1$ を選んでしまう誤り。正しくは、投げた後の時刻なので $t > 0$ の解（例題では $t = 3$ ）だけを選ぶ。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

2 物体の出会いとすれ違い（高校物理運動の表し方）
水平投射（高校物理運動の表し方）