2次方程式の解の公式と判別式

2次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ を因数分解または解の公式 $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ で解ける。判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ の符号から実数解の個数を判定し、グラフと $x$ 軸の共有点の個数を求められる

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算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）

説明

2次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ）は、因数分解できないときでも、係数 $a, b, c$ を解の公式に代入すれば必ず解けます。さらに、解の公式の根号の中身 $D = b^{2} - 4 a c$ （判別式）の符号を見るだけで、実数解がいくつあるかが方程式を解かなくても分かります。これを使うと、2次関数 $y = a x^{2} + b x + c$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数も求められます。

なぜそうしてよいのか

解の公式は平方完成から導けます。 $a \neq = 0$ なので両辺を $a$ で割り、 $x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$ とします。左辺を平方完成すると $(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} = - \frac{c}{a}$ 、つまり $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}}$ となります。右辺の分子を $D = b^{2} - 4 a c$ とおきます。 $D ≧ 0$ なら $x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{D}{4 a ^{2}} = \pm \frac{D}{2∣ a ∣}$ です。 $\pm$ がついているので $∣ a ∣$ を $a$ に置き換えても同じ2つの値を表し、 $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ が得られます。

一方、 $D < 0$ のときは、左辺は実数の2乗なので $0$ 以上、右辺は負になり、等式を満たす実数 $x$ はありません。 $D = 0$ のときは $x = - \frac{b}{2 a}$ のただ1つ（重解）、 $D > 0$ のときは $\pm$ で異なる2つの実数解になります。つまり $D$ の符号だけで実数解の個数が決まります。

グラフとの関係も同じ式から分かります。 $y = a x^{2} + b x + c$ を平方完成すると $y = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{D}{4 a}$ です。グラフと $x$ 軸の共有点は $y = 0$ となる点なので、その $x$ 座標は方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ の実数解そのものです。したがって共有点の個数は実数解の個数と等しく、 $D > 0$ なら2個、 $D = 0$ なら1個（ $x$ 軸に接する）、 $D < 0$ なら0個です。

手順

方程式を移項・整理して $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ）の形にし、 $a, b, c$ を符号ごと読み取る。
簡単に因数分解できるか確かめる。できれば $(p x + q) (r x + s) = 0$ から $x = - \frac{q}{p}, - \frac{s}{r}$ と解く。
判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ を計算し、符号を見る。 $D > 0$ なら異なる2つの実数解、 $D = 0$ なら重解（実数解1つ）、 $D < 0$ なら実数解なし。グラフと $x$ 軸の共有点の個数を聞かれたら、それぞれ2個・1個・0個と答える。
解を求めるときは解の公式 $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ に代入する。
根号を $k^{2} m = k m$ の形に簡単にし、分子のすべての項と分母を共通の数で約分して答えを整える。

例題

2次方程式 $3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ の解をすべて求めよ。

例題の解答

【手順1】すでに $a x^{2} + b x + c = 0$ の形なので、 $a = 3, b = - 4, c = - 2$ です。
【手順2】積が $3 \times (- 2) = - 6$ 、和が $- 4$ となる整数の組はないので、整数係数の範囲ではうまく因数分解できません。解の公式を使います。
【手順3】 $D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2) = 16 + 24 = 40 > 0$ なので、異なる2つの実数解をもちます。
【手順4】 $x = \frac{- ( - 4 ) \pm 40}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 40}{6}$ 。
【手順5】 $40 = 2^{2} \cdot 10 = 210$ より $x = \frac{4 \pm 2 10}{6}$ 。分子の2つの項 $4$ と $210$ 、分母 $6$ をすべて $2$ で割って $x = \frac{2 \pm 10}{3}$ 。
よって解は $x = \frac{2 + 10}{3}, \frac{2 - 10}{3}$ です。

答え: $\frac{2 + 10}{3}, \frac{2 - 10}{3}$

よくある誤り

$b$ が負のとき、 $- b$ の符号を間違える誤り。例えば $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ で $x = \frac{- 5 \pm 13}{2}$ としてしまう。正しくは $b = - 5$ なので $- b = 5$ で、 $x = \frac{5 \pm 13}{2}$ 。
約分で分子の一部だけを割ってしまう誤り。例えば $\frac{4 \pm 2 10}{6} = \frac{4 \pm 10}{3}$ としてしまう。正しくは分子の各項と分母をすべて $2$ で割り、 $\frac{2 \pm 10}{3}$ 。
整理する前に係数を読み取ってしまう誤り。例えば $2 x^{2} = 3 x + 1$ で $a = 2, b = 3, c = 1$ とし $D = 9 - 8 = 1$ としてしまう。正しくは $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ と移項してから $b = - 3, c = - 1$ とし、 $D = 9 + 8 = 17$ 。
$D = 0$ のときの個数を2個と数えてしまう誤り。例えば $y = x^{2} - 6 x + 9$ は $D = 36 - 36 = 0$ で、解は $x = 3$ のただ1つ（重解）なので、グラフと $x$ 軸の共有点は1個（接する）。また、 $x^{2}$ の係数に文字を含む場合（例: $k x^{2} + 2 x + 1 = 0$ ）は $k \neq = 0$ のときにしか判別式は使えず、 $k = 0$ の場合は1次方程式として別に調べる必要がある。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

1 次式の積に因数分解できる条件（数学I 数と式）
2つの2次方程式の実数解の条件の組合せ（数学I 2次関数）
2次方程式の解の配置（数学I 2次関数）
つねに成り立つ2次不等式（数学I 2次関数）
三角比を含む方程式・不等式（数学I 図形と計量）
平均・分散の条件から未知の値を決める（数学I データの分析）
隣接 3 項間の漸化式（数学B 数列）
債券の価格と最終利回り（大学数学数理ファイナンス・保険数学）
捕獲を含む個体群モデルと最大持続収穫量（大学数学数理モデル）
スカラー系の最適レギュレータ（大学院数学制御理論）
割引つき無限時間の HJB 方程式（大学院数学変分法・最適制御）
消費電力の最大（高校物理電流と回路）
等加速度直線運動の公式（高校物理運動の表し方）
極端に薄めた酸・塩基の pH （高校化学酸と塩基）
平衡定数から平衡時の量を求める（高校化学化学平衡）
一定数を取り除くときの平衡（高校生物生態と環境）
半導体のキャリア密度（大学物理電子回路・半導体デバイス）
トランジスタの動作点（大学物理電子回路・半導体デバイス）
2 次フィルタの周波数特性（大学物理電子回路・半導体デバイス）
分配比（副反応を含む分配平衡）（大学化学溶液内の平衡）
半導体のバンドギャップと吸収端波長（大学化学固体化学と結晶学）