電子回路・半導体デバイスの問題

図のように、抵抗値 $R$ の抵抗 2 個と静電容量 $C$ のコンデンサー 2 個を用いて、RC 低域通過フィルタを 2 段、緩衝増幅器（バッファ）を入れずにそのまま縦続接続した回路がある。入力端子間に角周波数 $\omega$ の正弦波電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を加え、出力端子間の電圧 $v_{\mathrm{out}}$ を取り出す。入力の信号源の内部インピーダンスは 0 で、出力端子には何もつながっていない（開放）とする。抵抗とコンデンサーは理想的な素子とし、$R>0$, $C>0$ とする。

電圧伝達関数の大きさ $\left|\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}\right|$ が直流（$\omega =0$）のときの値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる周波数（$-3\mathrm{dB}$ 遮断周波数）$f_{\mathrm{c}}$ を、$R,C$ を用いて表せ。ただし $V_{\mathrm{in}},V_{\mathrm{out}}$ は $v_{\mathrm{in}},v_{\mathrm{out}}$ の複素振幅（フェーザ）である。

図のように、入力端子に抵抗 $R=10\mathrm{k\Omega }$ を直列に入れ、その後ろでコンデンサー $C=10\mathrm{nF}$ と負荷抵抗 $R_L=40\mathrm{k\Omega }$ を並列に出力端子へつないだ RC ローパスフィルタがある。入力には内部インピーダンスが $0$ の正弦波電圧源をつなぎ、入力電圧の複素振幅を $V_{\mathrm{in}}$、負荷抵抗の両端の電圧（出力電圧）の複素振幅を $V_{\mathrm{out}}$ とする。素子はすべて理想的とし、回路は定常状態にあるとする。

電圧伝達関数 $H(j\omega )=V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ の大きさ $|H|$ が、直流（$\omega \to 0$）での値の $1/\sqrt{2}$ 倍になる周波数を遮断周波数 $f_c$ とする。$f_c$ は何 Hz か。円周率は $\pi =3.14159$ とし、有効数字 3 桁で求めよ。

図のような、理想オペアンプを電圧フォロワとして用いた 2 次の能動低域通過フィルタ（サレン・キー形）を考える。入力電圧 $V_{\mathrm{in}}$ は抵抗値 $R$ の抵抗 2 個を直列に通ってオペアンプの非反転入力端子（$+$）につながる。2 個の抵抗の接続点 A と出力端子の間には静電容量 $C_1=4C$ のコンデンサーが、非反転入力端子と接地の間には静電容量 $C_2=C$ のコンデンサーがつながっている。オペアンプの反転入力端子（$-$）は出力端子に直結されており、出力電圧を $V_{\mathrm{out}}$ とする。ただし $R>0$, $C>0$ とする。

オペアンプは理想素子（入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが 0、開ループ利得が無限大）とみなし、回路は正弦波定常状態にあるとする。電圧伝達関数 $H(j\omega )=V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ の大きさ $|H(j\omega )|$ が、直流（$\omega =0$）での値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる角周波数 ${\omega }_c(>0)$ を、$R$, $C$ を用いて求めよ。

図のように、角周波数 $\omega$ の正弦波交流電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を出す理想的な交流電源（内部インピーダンス $0$）に、自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル、静電容量 $C=1.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサー、抵抗値 $R=100\Omega$ の抵抗をこの順に直列につなぎ、抵抗の両端の電圧 $v_{\mathrm{out}}$ を出力とする帯域通過フィルタを考える。出力端子には何もつながない（出力電流は $0$）。コイル・コンデンサーは理想的な素子とし、コイルの巻線の抵抗は無視する。

電圧利得 $\left|\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}\right|$（$V_{\mathrm{in}},V_{\mathrm{out}}$ は $v_{\mathrm{in}},v_{\mathrm{out}}$ の複素振幅）が、その最大値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる角周波数は 2 つある。それらを小さい方を ${\omega }_1$、大きい方を ${\omega }_2$ とするとき、$({\omega }_1,{\omega }_2)$ を単位 $rad/s$ で、根号を用いた正確な値で求めよ。

図のように、抵抗値 $R$ の抵抗と静電容量 $C$ のコンデンサーからなる RC 低域通過フィルタを 2 段つなぎ、その間に理想的な緩衝増幅器（電圧利得 $1$、入力インピーダンス無限大、出力インピーダンス $0$）を入れた回路がある。

• 1 段目: 入力端子から抵抗 $R$ を通った点 A とアースの間にコンデンサー $C$ をつなぐ。点 A の電圧が緩衝増幅器に入力される。
• 2 段目: 緩衝増幅器の出力から抵抗 $R$ を通った点 B とアースの間にコンデンサー $C$ をつなぐ。点 B の電圧を出力電圧とし、出力端子には何もつながない。

入力に角周波数 $\omega$ の正弦波電圧を加える。入力電圧・出力電圧の複素振幅をそれぞれ $V_{\mathrm{in}}$, $V_{\mathrm{out}}$ とし、電圧伝達関数を $H(j\omega )=\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}$（$j$ は虚数単位）とする。$|H|$ が直流（$\omega \to 0$）での値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる角周波数 ${\omega }_c$（${\omega }_c>0$）を $R$, $C$ を用いて表せ。