電子回路・半導体デバイスの問題

図のように、抵抗値 $R$ の抵抗 2 個と静電容量 $C$ のコンデンサー 2 個を用いて、RC 低域通過フィルタを 2 段、間に緩衝増幅器を入れずにはしご形に接続した回路を考える。入力電圧 $V_{\mathrm{in}}$ は 1 段目の抵抗を通して節点に加わり、この節点と接地の間に 1 段目のコンデンサーがつながる。さらにこの節点から 2 段目の抵抗を通って出力端子に至り、出力端子と接地の間に 2 段目のコンデンサーがつながる。出力電圧 $V_{\mathrm{out}}$ は 2 段目のコンデンサーの両端の電圧である。

入力には内部インピーダンス $0$ の理想的な正弦波交流電圧源（角周波数 $\omega$）をつなぎ、出力端子には何もつながない（開放）。素子はすべて理想的とし、回路は正弦波定常状態にあるとする。

電圧伝達関数 $H(j\omega )=V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ の大きさが、直流（$\omega \to 0$）での値の $1/\sqrt{2}$ 倍になる角周波数を遮断角周波数 ${\omega }_c$ とする。${\omega }_c$ を $R$, $C$ を用いて表せ。

抵抗値 $R$ の抵抗 2 個と静電容量 $C$ のコンデンサー 2 個を用いた、次の受動フィルタ回路（ウィーンブリッジ形の RC 帯域通過回路）を考える。

• 入力端子の上側から、抵抗 $R$ とコンデンサー $C$ をこの順に直列に通って点 $\mathrm{P}$ に至る。
• 点 $\mathrm{P}$ と下側の共通線（グラウンド）の間に、抵抗 $R$ とコンデンサー $C$ が並列につながれている。
• 入力端子の下側と出力端子の下側はともに共通線につながり、点 $\mathrm{P}$ が出力端子の上側である。

入力端子間に、内部インピーダンス $0$ の理想的な交流電源から角周波数 $\omega$ の正弦波電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を加え、出力端子間の電圧 $v_{\mathrm{out}}$ を観測する。出力端子には何もつながず、出力端子から流れ出る電流は $0$ とする。抵抗とコンデンサーは理想素子とし、$R>0$, $C>0$ とする。

電圧伝達関数 $H(j\omega )=v_{\mathrm{out}}/v_{\mathrm{in}}$（複素数表示）の大きさ $|H|$ は、ある角周波数で最大値をとる。$|H|$ がその最大値の $1/\sqrt{2}$ 倍になる角周波数（遮断角周波数）は 2 つある。この 2 つの遮断角周波数を、低いほう・高いほうの順に組で、$R$, $C$ を用いて表せ。

図のように、起電力 $v_i$（角周波数 $\omega$ の正弦波）で内部抵抗 $R_s=40\Omega$ の交流電圧源に、インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル、静電容量 $C=1.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサー、抵抗 $R=60\Omega$ の抵抗をこの順に直列につなぎ、抵抗 $R$ の両端の電圧を出力電圧 $v_o$ とする帯域通過フィルタがある。出力端子には何もつながっていない。

電圧伝達関数の大きさ $|v_o/v_i|$ が、その最大値の $1/\sqrt{2}$ 倍になる角周波数のうち、小さい方を ${\omega }_L$、大きい方を ${\omega }_H$ とする。${\omega }_L$ と ${\omega }_H$（単位はいずれも $rad/s$）を、根号を用いた正確な値で、この順に組 $({\omega }_L,{\omega }_H)$ として求めよ。ただし、コイル・コンデンサーは理想素子とし、回路は定常状態にあるものとする。

図のような、理想オペアンプを電圧フォロワとして用いた 2 次の能動低域通過フィルタ（サレン・キー形）を考える。入力電圧 $V_{\mathrm{in}}$ は抵抗値 $R$ の抵抗 2 個を直列に通ってオペアンプの非反転入力端子（$+$）につながる。2 個の抵抗の接続点 A と出力端子の間には静電容量 $C_1=4C$ のコンデンサーが、非反転入力端子と接地の間には静電容量 $C_2=C$ のコンデンサーがつながっている。オペアンプの反転入力端子（$-$）は出力端子に直結されており、出力電圧を $V_{\mathrm{out}}$ とする。ただし $R>0$, $C>0$ とする。

オペアンプは理想素子（入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが 0、開ループ利得が無限大）とみなし、回路は正弦波定常状態にあるとする。電圧伝達関数 $H(j\omega )=V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ の大きさ $|H(j\omega )|$ が、直流（$\omega =0$）での値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる角周波数 ${\omega }_c(>0)$ を、$R$, $C$ を用いて求めよ。

次のような LC 低域通過フィルタの回路を考える。

起電力 $v_s$（角周波数 $\omega$ の正弦波）、内部抵抗 $R_s=1.0\mathrm{k\Omega }$ の信号源がある。信号源の一方の端子（端子 P とする）から、自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイルを直列につないで点 Q に至る。点 Q と信号源のもう一方の端子（接地側、端子 G とする）とのあいだに、静電容量 $C=10\mathrm{nF}$ のコンデンサーと負荷抵抗 $R_L=1.0\mathrm{k\Omega }$ を並列に接続する。つまり、信号源の内部抵抗 $R_s$ → コイル $L$ の順に直列につながり、その後ろに $C$ と $R_L$ の並列回路が端子 G との間に入っている。これ以外の素子・接続はない。

負荷抵抗の両端の電圧（端子 G を基準とした点 Q の電圧）を $v_{\mathrm{out}}$ とし、複素電圧伝達関数を $H(\omega )=V_{\mathrm{out}}/V_s$ とする（$V_s$, $V_{\mathrm{out}}$ はそれぞれ $v_s$, $v_{\mathrm{out}}$ の複素振幅）。

$|H(\omega )|$ が直流（$\omega \to 0$）での値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる正の角周波数（遮断角周波数）${\omega }_c$ は何 $rad/s$ か。根号を用いた正確な値で求めよ。ただし、コイル・コンデンサーは理想的な素子（抵抗分なし）、導線の抵抗は無視し、正弦波の定常状態を考える。