2 次フィルタの周波数特性

図のように、抵抗値 $R$ の抵抗と静電容量 $C$ のコンデンサーからなる RC 低域通過フィルタを 2 段つなぎ、その間に理想的な緩衝増幅器（電圧利得 $1$、入力インピーダンス無限大、出力インピーダンス $0$）を入れた回路がある。

• 1 段目: 入力端子から抵抗 $R$ を通った点 A とアースの間にコンデンサー $C$ をつなぐ。点 A の電圧が緩衝増幅器に入力される。
• 2 段目: 緩衝増幅器の出力から抵抗 $R$ を通った点 B とアースの間にコンデンサー $C$ をつなぐ。点 B の電圧を出力電圧とし、出力端子には何もつながない。

入力に角周波数 $\omega$ の正弦波電圧を加える。入力電圧・出力電圧の複素振幅をそれぞれ $V_{\mathrm{in}}$, $V_{\mathrm{out}}$ とし、電圧伝達関数を $H(j\omega )=\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}$（$j$ は虚数単位）とする。$|H|$ が直流（$\omega \to 0$）での値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる角周波数 ${\omega }_c$（${\omega }_c>0$）を $R$, $C$ を用いて表せ。

図のように、角周波数 $\omega$ の正弦波交流電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を出す理想的な交流電源（内部インピーダンス $0$）に、自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル、静電容量 $C=1.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサー、抵抗値 $R=100\Omega$ の抵抗をこの順に直列につなぎ、抵抗の両端の電圧 $v_{\mathrm{out}}$ を出力とする帯域通過フィルタを考える。出力端子には何もつながない（出力電流は $0$）。コイル・コンデンサーは理想的な素子とし、コイルの巻線の抵抗は無視する。

電圧利得 $\left|\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}\right|$（$V_{\mathrm{in}},V_{\mathrm{out}}$ は $v_{\mathrm{in}},v_{\mathrm{out}}$ の複素振幅）が、その最大値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる角周波数は 2 つある。それらを小さい方を ${\omega }_1$、大きい方を ${\omega }_2$ とするとき、$({\omega }_1,{\omega }_2)$ を単位 $rad/s$ で、根号を用いた正確な値で求めよ。

次のようなオペアンプ回路を考える。入力電圧 $v_{\mathrm{in}}$（接地に対する電圧）は、抵抗値 $R_1$ の抵抗と静電容量 $C_1$ のコンデンサーを直列に通してオペアンプの反転入力端子（$-$）につながる。反転入力端子と出力端子の間には、抵抗値 $R_2$ の抵抗と静電容量 $C_2$ のコンデンサーが並列に接続されている。非反転入力端子（$+$）は接地されており、出力電圧 $v_{\mathrm{out}}$ は接地に対する出力端子の電圧である。オペアンプは理想オペアンプ（電圧利得が無限大、入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが $0$）とみなし、つねに線形領域で動作するものとする。$R_1,C_1,R_2,C_2$ は正の定数である。

入力が角周波数 $\omega (>0)$ の正弦波のとき、複素電圧利得 $H(\omega )=V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ の大きさ $|H(\omega )|$ はある角周波数で最大値をとる。$|H(\omega )|$ がその最大値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる角周波数はちょうど 2 つあり、それらを ${\omega }_L,{\omega }_H({\omega }_L<{\omega }_H)$ とする。帯域幅 ${\omega }_H-{\omega }_L$ を $R_1,C_1,R_2,C_2$ を用いて表せ。

図のような、理想オペアンプを用いたアクティブフィルタを考える。

• 入力端子から、抵抗値 $R$ の抵抗と静電容量 $C$ のコンデンサーを直列に通して、オペアンプの反転入力端子（$-$）につなぐ。
• 反転入力端子と出力端子の間には、抵抗値 $3R$ の抵抗と静電容量 $\frac{C}{2}$ のコンデンサーを並列に接続する。
• 非反転入力端子（$+$）は接地する。

入力端子間に角周波数 $\omega$（$\omega >0$）の正弦波電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を加えた定常状態で、出力電圧を $v_{\mathrm{out}}$ とし、電圧利得を $G(\omega )=\left|\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}\right|$（$V_{\mathrm{in}},V_{\mathrm{out}}$ はそれぞれの複素振幅）と定める。

オペアンプは理想的（開ループ利得が無限大、入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが $0$）で、飽和せず線形に動作するものとする。

$G(\omega )$ の最大値を $G_{\max }$ とする。$G(\omega )=\frac{G_{\max }}{\sqrt{2}}$ となる角周波数は 2 つある。小さい方を低域遮断角周波数 ${\omega }_L$、大きい方を高域遮断角周波数 ${\omega }_H$ とするとき、${\omega }_L$ と ${\omega }_H$ を $R,C$ を用いて表し、この順に答えよ。

図のように、理想オペアンプ 3 個 ${\mathrm{A}}_1$, ${\mathrm{A}}_2$, ${\mathrm{A}}_3$ を用いた回路がある。どのオペアンプも非反転入力端子（$+$）は接地されている。電圧はすべて接地に対する電圧である。

• ${\mathrm{A}}_1$：入力電圧 $v_{\mathrm{in}}$ が抵抗 $R_1=25\mathrm{k\Omega }$ を通して反転入力端子（$-$）につながる。${\mathrm{A}}_3$ の出力電圧 $v_3$ も、抵抗 $R_2=10\mathrm{k\Omega }$ を通して同じ反転入力端子につながる。反転入力端子と出力端子のあいだには、静電容量 $C_1=10\mathrm{nF}$ のコンデンサーと抵抗 $R_Q=50\mathrm{k\Omega }$ が並列に接続されている。${\mathrm{A}}_1$ の出力電圧を $v_1$ とする。
• ${\mathrm{A}}_2$：$v_1$ が抵抗 $R_3=10\mathrm{k\Omega }$ を通して反転入力端子につながり、反転入力端子と出力端子のあいだに静電容量 $C_2=10\mathrm{nF}$ のコンデンサーが接続されている。${\mathrm{A}}_2$ の出力電圧を $v_2$ とする。
• ${\mathrm{A}}_3$：$v_2$ が抵抗 $R_4=10\mathrm{k\Omega }$ を通して反転入力端子につながり、反転入力端子と出力端子のあいだに抵抗値 $R_4$ の抵抗がもう 1 個接続されている。${\mathrm{A}}_3$ の出力電圧が $v_3$ である。

ここで $1\mathrm{k\Omega }=10^3\Omega$, $1\mathrm{nF}=10^{-9}\mathrm{F}$ であり、素子の値はすべて正確な値とする。オペアンプは理想素子（開ループ利得は無限大、入力端子に流れこむ電流は $0$、出力インピーダンスは $0$）とし、出力は飽和せず線形に動作するものとする。

$v_{\mathrm{in}}$ を角周波数 $\omega$（$\omega >0$）の正弦波とし、回路が定常状態にあるとき、$v_1$ の振幅と $v_{\mathrm{in}}$ の振幅の比 $|v_1/v_{\mathrm{in}}|$ がちょうど $1$ になる $\omega$ は 2 つある。これらを小さい順に、単位 $rad/s$ で、根号を用いた正確な値で求めよ。

図のように、抵抗値 $R$ の抵抗 2 個と静電容量 $C$ のコンデンサー 2 個を用いて、RC 低域通過フィルタを 2 段、間に緩衝増幅器を入れずにはしご形に接続した回路を考える。入力電圧 $V_{\mathrm{in}}$ は 1 段目の抵抗を通して節点に加わり、この節点と接地の間に 1 段目のコンデンサーがつながる。さらにこの節点から 2 段目の抵抗を通って出力端子に至り、出力端子と接地の間に 2 段目のコンデンサーがつながる。出力電圧 $V_{\mathrm{out}}$ は 2 段目のコンデンサーの両端の電圧である。

入力には内部インピーダンス $0$ の理想的な正弦波交流電圧源（角周波数 $\omega$）をつなぎ、出力端子には何もつながない（開放）。素子はすべて理想的とし、回路は正弦波定常状態にあるとする。

電圧伝達関数 $H(j\omega )=V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ の大きさが、直流（$\omega \to 0$）での値の $1/\sqrt{2}$ 倍になる角周波数を遮断角周波数 ${\omega }_c$ とする。${\omega }_c$ を $R$, $C$ を用いて表せ。

図のように、抵抗値 $R$ の抵抗 2 個と静電容量 $C$ のコンデンサー 2 個を用いて、RC 低域通過フィルタを 2 段、緩衝増幅器（バッファ）を入れずにそのまま縦続接続した回路がある。入力端子間に角周波数 $\omega$ の正弦波電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を加え、出力端子間の電圧 $v_{\mathrm{out}}$ を取り出す。入力の信号源の内部インピーダンスは 0 で、出力端子には何もつながっていない（開放）とする。抵抗とコンデンサーは理想的な素子とし、$R>0$, $C>0$ とする。

電圧伝達関数の大きさ $\left|\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}\right|$ が直流（$\omega =0$）のときの値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる周波数（$-3\mathrm{dB}$ 遮断周波数）$f_{\mathrm{c}}$ を、$R,C$ を用いて表せ。ただし $V_{\mathrm{in}},V_{\mathrm{out}}$ は $v_{\mathrm{in}},v_{\mathrm{out}}$ の複素振幅（フェーザ）である。

図のように、起電力 $v_i$（角周波数 $\omega$ の正弦波）で内部抵抗 $R_s=40\Omega$ の交流電圧源に、インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル、静電容量 $C=1.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサー、抵抗 $R=60\Omega$ の抵抗をこの順に直列につなぎ、抵抗 $R$ の両端の電圧を出力電圧 $v_o$ とする帯域通過フィルタがある。出力端子には何もつながっていない。

電圧伝達関数の大きさ $|v_o/v_i|$ が、その最大値の $1/\sqrt{2}$ 倍になる角周波数のうち、小さい方を ${\omega }_L$、大きい方を ${\omega }_H$ とする。${\omega }_L$ と ${\omega }_H$（単位はいずれも $rad/s$）を、根号を用いた正確な値で、この順に組 $({\omega }_L,{\omega }_H)$ として求めよ。ただし、コイル・コンデンサーは理想素子とし、回路は定常状態にあるものとする。

図のような、理想オペアンプを電圧フォロワとして用いた 2 次の能動低域通過フィルタ（サレン・キー形）を考える。入力電圧 $V_{\mathrm{in}}$ は抵抗値 $R$ の抵抗 2 個を直列に通ってオペアンプの非反転入力端子（$+$）につながる。2 個の抵抗の接続点 A と出力端子の間には静電容量 $C_1=4C$ のコンデンサーが、非反転入力端子と接地の間には静電容量 $C_2=C$ のコンデンサーがつながっている。オペアンプの反転入力端子（$-$）は出力端子に直結されており、出力電圧を $V_{\mathrm{out}}$ とする。ただし $R>0$, $C>0$ とする。

オペアンプは理想素子（入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが 0、開ループ利得が無限大）とみなし、回路は正弦波定常状態にあるとする。電圧伝達関数 $H(j\omega )=V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ の大きさ $|H(j\omega )|$ が、直流（$\omega =0$）での値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる角周波数 ${\omega }_c(>0)$ を、$R$, $C$ を用いて求めよ。

次のような LC 低域通過フィルタの回路を考える。

起電力 $v_s$（角周波数 $\omega$ の正弦波）、内部抵抗 $R_s=1.0\mathrm{k\Omega }$ の信号源がある。信号源の一方の端子（端子 P とする）から、自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイルを直列につないで点 Q に至る。点 Q と信号源のもう一方の端子（接地側、端子 G とする）とのあいだに、静電容量 $C=10\mathrm{nF}$ のコンデンサーと負荷抵抗 $R_L=1.0\mathrm{k\Omega }$ を並列に接続する。つまり、信号源の内部抵抗 $R_s$ → コイル $L$ の順に直列につながり、その後ろに $C$ と $R_L$ の並列回路が端子 G との間に入っている。これ以外の素子・接続はない。

負荷抵抗の両端の電圧（端子 G を基準とした点 Q の電圧）を $v_{\mathrm{out}}$ とし、複素電圧伝達関数を $H(\omega )=V_{\mathrm{out}}/V_s$ とする（$V_s$, $V_{\mathrm{out}}$ はそれぞれ $v_s$, $v_{\mathrm{out}}$ の複素振幅）。

$|H(\omega )|$ が直流（$\omega \to 0$）での値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる正の角周波数（遮断角周波数）${\omega }_c$ は何 $rad/s$ か。根号を用いた正確な値で求めよ。ただし、コイル・コンデンサーは理想的な素子（抵抗分なし）、導線の抵抗は無視し、正弦波の定常状態を考える。

抵抗値 $R$ の抵抗 2 個と静電容量 $C$ のコンデンサー 2 個を用いた、次の受動フィルタ回路（ウィーンブリッジ形の RC 帯域通過回路）を考える。

• 入力端子の上側から、抵抗 $R$ とコンデンサー $C$ をこの順に直列に通って点 $\mathrm{P}$ に至る。
• 点 $\mathrm{P}$ と下側の共通線（グラウンド）の間に、抵抗 $R$ とコンデンサー $C$ が並列につながれている。
• 入力端子の下側と出力端子の下側はともに共通線につながり、点 $\mathrm{P}$ が出力端子の上側である。

入力端子間に、内部インピーダンス $0$ の理想的な交流電源から角周波数 $\omega$ の正弦波電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を加え、出力端子間の電圧 $v_{\mathrm{out}}$ を観測する。出力端子には何もつながず、出力端子から流れ出る電流は $0$ とする。抵抗とコンデンサーは理想素子とし、$R>0$, $C>0$ とする。

電圧伝達関数 $H(j\omega )=v_{\mathrm{out}}/v_{\mathrm{in}}$（複素数表示）の大きさ $|H|$ は、ある角周波数で最大値をとる。$|H|$ がその最大値の $1/\sqrt{2}$ 倍になる角周波数（遮断角周波数）は 2 つある。この 2 つの遮断角周波数を、低いほう・高いほうの順に組で、$R$, $C$ を用いて表せ。