電子回路・半導体デバイスの問題

図のように、抵抗値 $R$ の抵抗 2 個と静電容量 $C$ のコンデンサー 2 個を用いて、RC 低域通過フィルタを 2 段、間に緩衝増幅器を入れずにはしご形に接続した回路を考える。入力電圧 $V_{\mathrm{in}}$ は 1 段目の抵抗を通して節点に加わり、この節点と接地の間に 1 段目のコンデンサーがつながる。さらにこの節点から 2 段目の抵抗を通って出力端子に至り、出力端子と接地の間に 2 段目のコンデンサーがつながる。出力電圧 $V_{\mathrm{out}}$ は 2 段目のコンデンサーの両端の電圧である。

入力には内部インピーダンス $0$ の理想的な正弦波交流電圧源（角周波数 $\omega$）をつなぎ、出力端子には何もつながない（開放）。素子はすべて理想的とし、回路は正弦波定常状態にあるとする。

電圧伝達関数 $H(j\omega )=V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ の大きさが、直流（$\omega \to 0$）での値の $1/\sqrt{2}$ 倍になる角周波数を遮断角周波数 ${\omega }_c$ とする。${\omega }_c$ を $R$, $C$ を用いて表せ。

図のように、電気容量 $C=0.10\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーと抵抗値 $R=1.0\mathrm{k\Omega }$ の抵抗を直列につなぎ、両端に周波数 $f$ の正弦波交流電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を加える。コンデンサーは入力端子側、抵抗は接地側にあり、抵抗の両端の電圧を出力電圧 $v_{\mathrm{out}}$ とする。出力端子には何もつながない（出力端子に流れ出る電流は $0$）。電源の内部インピーダンスは $0$ とする。

電圧伝達関数 $H(j\omega )=\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}$（$\omega =2\pi f$、$V_{\mathrm{in}}$, $V_{\mathrm{out}}$ は複素振幅、$j$ は虚数単位）の大きさ $|H|$ が、周波数を十分高くしたときの値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる周波数（遮断周波数）$f_c$ は何 Hz か。$\pi$ を用いた正確な値で求めよ。

図のように、抵抗値 $R$ の抵抗 2 個と静電容量 $C$ のコンデンサー 2 個を用いて、RC 低域通過フィルタを 2 段、緩衝増幅器（バッファ）を入れずにそのまま縦続接続した回路がある。入力端子間に角周波数 $\omega$ の正弦波電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を加え、出力端子間の電圧 $v_{\mathrm{out}}$ を取り出す。入力の信号源の内部インピーダンスは 0 で、出力端子には何もつながっていない（開放）とする。抵抗とコンデンサーは理想的な素子とし、$R>0$, $C>0$ とする。

電圧伝達関数の大きさ $\left|\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}\right|$ が直流（$\omega =0$）のときの値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる周波数（$-3\mathrm{dB}$ 遮断周波数）$f_{\mathrm{c}}$ を、$R,C$ を用いて表せ。ただし $V_{\mathrm{in}},V_{\mathrm{out}}$ は $v_{\mathrm{in}},v_{\mathrm{out}}$ の複素振幅（フェーザ）である。

図のように、角周波数 $\omega$ の正弦波交流電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を出す理想的な交流電源（内部インピーダンス $0$）に、抵抗値 $R$ の抵抗と自己インダクタンス $L$ のコイルを直列に接続し、コイルの両端の電圧を出力電圧 $v_{\mathrm{out}}$ として取り出す。出力端子には何も接続しない（開放）。コイルの抵抗は無視でき、$R>0$, $L>0$, $\omega >0$ とする。

出力電圧の振幅が入力電圧の振幅のちょうど $\frac{1}{2}$ になる角周波数 $\omega$ を、$R$, $L$ を用いて表せ。

図のように、理想オペアンプを用いた積分回路がある。電圧はすべて接地を基準とする。

• 入力端子は抵抗値 $R=10\mathrm{k\Omega }$ の抵抗を通してオペアンプの反転入力端子（$-$）につながる。
• 反転入力端子と出力端子の間には、電気容量 $C=1.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーがつながる。
• 非反転入力端子（$+$）は接地されている。

時刻 $t=0$ でコンデンサーの電荷は $0$（出力電圧 $V_{\mathrm{out}}=0$）であり、$t=0$ から入力端子に一定の電圧 $V_{\mathrm{in}}=0.50\mathrm{V}$ を加え続ける。オペアンプは理想的（入力端子に流れこむ電流は $0$、反転入力端子と非反転入力端子の電位は等しい）とし、考える時間の範囲で出力は飽和しないものとする。出力電圧が $V_{\mathrm{out}}=-2.0\mathrm{V}$ になる時刻 $t$ は何 ms か。有効数字 2 桁で求めよ。