2点間の距離と内分点・外分点

座標平面上の2点間の距離 $(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ 、線分を $m : n$ に内分・外分する点 $(\frac{n x _{1} + m x _{2}}{m + n}, \frac{n y _{1} + m y _{2}}{m + n})$ など、三角形の重心の座標を求められる

前提

三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
平行線と線分の比（中学数学相似と三平方の定理）

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算数中学高校大学大学院

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平行線と線分の比（中学数学相似と三平方の定理）

説明

座標平面上の点の座標だけを使って、2点間の距離、線分を決まった比に分ける点（内分点・外分点）、三角形の重心の座標を計算で求められるようになります。図をかいて長さを測らなくても、座標の引き算・掛け算・割り算だけで長さや位置が決まります。図形の問題を座標で扱うときの基本の道具です。

なぜそうしてよいのか

【距離】2点 $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$ について、横方向の差 $∣ x_{2} - x_{1} ∣$ と縦方向の差 $∣ y_{2} - y_{1} ∣$ を2辺とし、 $A B$ を斜辺とする直角三角形を考えます。三平方の定理より $A B^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ なので、 $A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ です。差を2乗するので、絶対値を付けなくても同じ値になります（差が $0$ の場合も成り立ちます）。

【内分点】線分 $A B$ 上の点 $P$ で $A P : P B = m : n$ （ $m > 0, n > 0$ ）となるものを、 $A B$ を $m : n$ に内分する点といいます。 $A, P, B$ から $x$ 軸に垂線を下ろすと、平行線と線分の比の性質により、 $P$ の $x$ 座標も $x_{1}$ から $x_{2}$ までを $m : n$ に分けます。つまり $P$ の $x$ 座標は、 $x_{1}$ から差 $x_{2} - x_{1}$ の $\frac{m}{m + n}$ 倍だけ進んだ値で、 $x = x_{1} + \frac{m}{m + n} (x_{2} - x_{1}) = \frac{( m + n ) x _{1} + m x _{2} - m x _{1}}{m + n} = \frac{n x _{1} + m x _{2}}{m + n}$ となります（ $x_{1} = x_{2}$ のときも両辺とも $x_{1}$ で正しい）。 $y$ 座標も同様です。 $A$ の座標に $n$ 、 $B$ の座標に $m$ が掛かる（比と点の対応が入れかわる）のは、この計算で $x_{1}$ の係数が $1 - \frac{m}{m + n} = \frac{n}{m + n}$ になるからです。

【外分点】 $m > 0, n > 0, m \neq = n$ とします。直線 $A B$ 上で線分 $A B$ の外側にあり $A P : P B = m : n$ となる点 $P$ を、 $A B$ を $m : n$ に外分する点といいます。 $A P = mk, P B = nk$ （ $k > 0$ ）とおくと、 $m > n$ のとき $P$ は $B$ の先にあり $A P - P B = A B$ から $A P = \frac{m}{m - n} A B$ 、向きは $A$ から $B$ の向きです。 $m < n$ のとき $P$ は $A$ の手前にあり $P B - A P = A B$ から $A P = \frac{m}{n - m} A B$ 、向きは逆です。どちらの場合も $x = x_{1} + \frac{m}{m - n} (x_{2} - x_{1}) = \frac{- n x _{1} + m x _{2}}{m - n}$ とまとめられ、内分の式の $n$ を $- n$ に置き換えた形になります。

【重心】三角形の頂点と向かい側の辺の中点を結ぶ線分を中線といい、3本の中線の交点を重心といいます。3本が1点で交わることも座標で確かめられます。 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}), C (x_{3}, y_{3})$ とし、辺 $B C$ の中点 $M (\frac{x _{2} + x _{3}}{2}, \frac{y _{2} + y _{3}}{2})$ をとります。中線 $A M$ を $2 : 1$ に内分する点 $G$ の $x$ 座標は $\frac{1 \cdot x _{1} + 2 \cdot \frac{x _{2} + x _{3}}{2}}{3} = \frac{x _{1} + x _{2} + x _{3}}{3}$ 、 $y$ 座標も同様に $\frac{y _{1} + y _{2} + y _{3}}{3}$ です。この式は $A, B, C$ を入れかえても変わらないので、中線 $B N$ （ $N$ は $C A$ の中点）や中線 $C L$ （ $L$ は $A B$ の中点）を $2 : 1$ に内分する点も同じ $G$ です。つまり $G$ は3本の中線すべての上にあります。異なる2本の直線の共有点は1つしかないので、3本の中線は $G$ の1点で交わり、重心は $G (\frac{x _{1} + x _{2} + x _{3}}{3}, \frac{y _{1} + y _{2} + y _{3}}{3})$ 、しかも重心は各中線を頂点側から $2 : 1$ に内分します。

手順

2点を $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$ として座標を書き出す。「 $A B$ を $m : n$ に分ける」ときは、 $m$ が $A$ 側（ $A P$ ）、 $n$ が $B$ 側（ $P B$ ）の比であることを確認する。
距離を求めるときは、座標の差を2乗して足し、平方根をとる： $A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$
内分点（ $m > 0, n > 0$ ）は、 $A$ の座標に $n$ 、 $B$ の座標に $m$ を掛けて足し、 $m + n$ で割る： $(\frac{n x _{1} + m x _{2}}{m + n}, \frac{n y _{1} + m y _{2}}{m + n})$ 。特に中点（ $1 : 1$ ）は $(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$ 。
外分点（ $m > 0, n > 0, m \neq = n$ ）は、内分の式の $n$ を $- n$ に置き換える： $(\frac{- n x _{1} + m x _{2}}{m - n}, \frac{- n y _{1} + m y _{2}}{m - n})$
三角形 $A B C$ の重心は、3頂点の座標をそれぞれ足して3で割る： $(\frac{x _{1} + x _{2} + x _{3}}{3}, \frac{y _{1} + y _{2} + y _{3}}{3})$

例題

2点 $A (1, 5)$ , $B (7, - 1)$ を結ぶ線分 $A B$ を $2 : 1$ に内分する点 $P$ の座標を求めよ。

例題の解答

手順1： $A (x_{1}, y_{1}) = (1, 5)$ , $B (x_{2}, y_{2}) = (7, - 1)$ とし、 $m = 2$ （ $A$ 側）, $n = 1$ （ $B$ 側）とする。

手順3：内分点の式で、 $A$ の座標に $n = 1$ 、 $B$ の座標に $m = 2$ を掛けて足し、 $m + n = 3$ で割る。
$x = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 7}{2 + 1} = \frac{15}{3} = 5$
$y = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot ( - 1 )}{2 + 1} = \frac{3}{3} = 1$
確認： $A$ から $B$ へ $x$ は $6$ 増えるので、その $\frac{2}{3}$ の $4$ だけ進んで $x = 1 + 4 = 5$ 。 $y$ は $6$ 減るので $4$ 減って $y = 5 - 4 = 1$ 。一致する。

よって $P (5, 1)$ 。

答え: $(5, 1)$

よくある誤り

内分点で比の掛け方を逆にして $\frac{m x _{1} + n x _{2}}{m + n}$ としてしまう誤り。例題なら $\frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 7}{3} = 3$ となり、 $A P : P B = 1 : 2$ の点（ $A$ に近い点）になってしまう。正しくは $A$ に $n$ 、 $B$ に $m$ を掛けて $\frac{n x _{1} + m x _{2}}{m + n} = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 7}{3} = 5$ 。
外分点で分母を $m + n$ のままにしたり、分子の符号を変え忘れたりする誤り。正しくは $n$ を $- n$ に置き換えるので、分子は $- n x_{1} + m x_{2}$ 、分母は $m - n$ 。例： $A (1, 5)$ , $B (7, - 1)$ を $2 : 1$ に外分する点は $(\frac{- 1 \cdot 1 + 2 \cdot 7}{2 - 1}, \frac{- 1 \cdot 5 + 2 \cdot ( - 1 )}{2 - 1}) = (13, - 7)$ 。
距離で負の差を2乗するときに $(- 6)^{2} = - 36$ としたり、平方根をとり忘れて $A B^{2}$ の値を答えたりする誤り。正しくは $A (1, 5)$ , $B (7, - 1)$ なら $A B = 6^{2} + (- 6)^{2} = 72 = 62$ 。
「 $A B$ を $m : n$ に分ける」と「 $B A$ を $m : n$ に分ける」を同じと考えてしまう誤り。比の前の数 $m$ は先に書かれた点の側の比なので、 $B A$ を $2 : 1$ に内分する点は $B$ に $1$ 、 $A$ に $2$ を掛けて $(\frac{1 \cdot 7 + 2 \cdot 1}{3}, \frac{1 \cdot ( - 1 ) + 2 \cdot 5}{3}) = (3, 3)$ となり、 $A B$ を $2 : 1$ に内分する点 $(5, 1)$ とは異なる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

2直線の平行・垂直（数学II 図形と方程式）
円の方程式（数学II 図形と方程式）
複素数平面と絶対値・共役複素数（数学C 複素数平面）
距離空間と開球（大学数学集合と位相）
観測点の到達時刻と津波の波源（高校地学海洋）