平面上の曲線の問題

双曲線の焦点

双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ の焦点は $(\pm \sqrt{a^2+b^2},0)$ である。

ここでは $a^2=4,b^2=5$ だから $\sqrt{4+5}=3$ となり、焦点は $F(3,0)$, $F^{\prime }(-3,0)$ である。

楕円の長軸の長さ

楕円の焦点も $F,F^{\prime }$ である。楕円は「2 つの焦点からの距離の和が一定である点の軌跡」であり、その一定の和は長軸の長さに等しい。

楕円上の点 $P\left(3,\frac{16}{5}\right)$ について、各焦点までの距離を求める。

$$PF=\sqrt{(3-3{)}^2+{\left(\frac{16}{5}\right)}^2}=\frac{16}{5}$$

$$P{F}^{\prime }=\sqrt{(3+3{)}^2+{\left(\frac{16}{5}\right)}^2}=\sqrt{36+\frac{256}{25}}=\sqrt{\frac{1156}{25}}=\frac{34}{5}$$

よって

$$PF+P{F}^{\prime }=\frac{16}{5}+\frac{34}{5}=10$$

したがって長軸の長さは $10$ である。

楕円の短軸の長さ

楕円の方程式を $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ とおく。長軸の長さが $2a=10$ だから $a=5$ である。

焦点が $(\pm 3,0)$ なので $a^2-b^2=3^2$ が成り立ち、

$$b^2=25-9=16,b=4$$

よって短軸の長さは $2b=8$ である。

確認

楕円 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ に点 $P$ を代入すると

$$\frac{9}{25}+\frac{256}{25}\cdot \frac{1}{16}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$$

となり、確かに $P$ を通る。

以上より、長軸の長さは $10$、短軸の長さは $8$ である。

双曲線の焦点は $c^2=4+5=9$ より $(\pm 3,0)$。楕円を $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) とおくと $a^2-b^2=9$。点 $P\left(3,\frac{16}{5}\right)$ から焦点までの距離は、$(3,0)$ までが $\frac{16}{5}$、$(-3,0)$ までが $\sqrt{36+\frac{256}{25}}=\frac{34}{5}$。和は $\frac{50}{5}=10=2a$ より $a=5$。よって $b^2=25-9=16$, $b=4$。検算：$\frac{9}{25}+\frac{(16/5{)}^2}{16}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ で成り立つ。長軸の長さは $2a=10$、短軸の長さは $2b=8$。