楕円の方程式と焦点

座標平面上に $2$ 点 $\mathrm{F}(2,0)$, ${\mathrm{F}}^{\prime }(-2,0)$ がある。$\mathrm{PF}+\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=6$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡は、楕円
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$$
である。$a^2$ と $b^2$ の値を、この順に組 $(a^2,b^2)$ の形で求めよ。

$a>b>0$ とする。楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ の焦点が $2$ 点 $\mathrm{F}(2,0)$, ${\mathrm{F}}^{\prime }(-2,0)$ であり、この楕円は点 $\mathrm{P}(2,3)$ を通る。$a$, $b$ の値をこの順に求めよ。

2 点 $\mathrm{F}(2,0)$, ${\mathrm{F}}^{\prime }(-2,0)$ を焦点とし、点 $\mathrm{A}(2,3)$ を通る楕円がある。この楕円の方程式を $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a>b>0)$ の形で表すとき、$a^2$ と $b^2$ の値をこの順に求めよ。

双曲線 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ と焦点が一致し、点 $\left(3,\frac{16}{5}\right)$ を通る楕円がある。この楕円の長軸の長さと短軸の長さを、この順に求めよ。

楕円 $C:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ の 2 つの焦点のうち、$x$ 座標が正のものを $\mathrm{F}$、負のものを ${\mathrm{F}}^{\prime }$ とする。また、原点を頂点とし $\mathrm{F}$ を焦点とする放物線を $D$ とする。$C$ と $D$ の共有点のうち $y$ 座標が正であるものを $\mathrm{P}$ とするとき、線分 $\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }$ の長さを求めよ。

$a>b>0$ とする。楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ は、双曲線 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ と焦点が一致し、さらに点 $\left(3,\frac{16}{5}\right)$ を通る。このとき、$a,b$ の値を求め、組 $(a,b)$ の形で答えよ。

楕円 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ の 2 つの焦点を $F$, $F^{\prime }$ とする。ただし、$F$ の $x$ 座標は正とする。

$2$ 点 $F$, $F^{\prime }$ を焦点とし、漸近線が $2$ 直線 $y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}x$ である双曲線を $H$ とする。楕円と双曲線 $H$ の交点のうち、第 1 象限にあるものを $P$ とするとき、$\cos \angle FP{F}^{\prime }$ の値を求めよ。

座標平面上の楕円
$$C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$
の 2 つの焦点のうち、$x$ 座標が正であるものを $\mathrm{F}$ とする。$C$ 上の点 $\mathrm{P}$ は第 $1$ 象限にあるとし、$\mathrm{P}$ における $C$ の接線が 2 直線 $x=3$, $x=-3$ と交わる点をそれぞれ $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$ とする。$\mathrm{P}$ が $C$ の第 $1$ 象限の部分を動くとき、三角形 $\mathrm{FMN}$ の面積の最小値を求めよ。

座標平面上に楕円 $C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$ と直線 $\ell :x+y=5$ がある。点 $\mathrm{P}$ が $\ell$ 上を動くとき、$\mathrm{P}$ から $C$ に引いた $2$ 本の接線の接点を $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ とする。三角形 $\mathrm{PAB}$ の面積の最小値を求めよ。

座標平面上に、放物線 $C_1:y^2=4x$ と楕円 $C_2:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ がある。$C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線（共通接線）をすべて考え、各共通接線について $C_1$ との接点と $C_2$ との接点をとる。これらの接点すべてを頂点とする四角形の面積を求めよ。

座標平面上に楕円 $C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$ と点 $\mathrm{P}\left(2,\sqrt{3}\right)$ がある。点 $\mathrm{P}$ から $C$ に引いた $2$ 本の接線と楕円 $C$ とで囲まれた部分の面積を求めよ。

楕円 $$C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$$ の焦点のうち、$x$ 座標が正であるものを $\mathrm{F}$ とする。$C$ 上の $5$ 点 ${\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2,{\mathrm{P}}_3,{\mathrm{P}}_4,{\mathrm{P}}_5$ が、$\mathrm{F}$ のまわりに反時計回りにこの順に並び、 $$\angle {\mathrm{P}}_1\mathrm{F}{\mathrm{P}}_2=\angle {\mathrm{P}}_2\mathrm{F}{\mathrm{P}}_3=\angle {\mathrm{P}}_3\mathrm{F}{\mathrm{P}}_4=\angle {\mathrm{P}}_4\mathrm{F}{\mathrm{P}}_5=\angle {\mathrm{P}}_5\mathrm{F}{\mathrm{P}}_1=\frac{2\pi }{5}$$ を満たしている。このとき $$\sum _{k=1}^5\frac{1}{{\mathrm{FP}}_k^2}$$ の値を求めよ。