平面上の曲線の問題

楕円は、$2$ つの焦点からの距離の和が一定である点の軌跡です。楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ では、この距離の和は長軸の長さ $2a$ に等しく、焦点は $(\pm \sqrt{a^2-b^2},0)$ です。

手順1：距離の和から $a$ を求める。
点 $\mathrm{P}(2,3)$ は楕円上にあるので、$\mathrm{PF}+\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=2a$ が成り立ちます。
$$\mathrm{PF}=\sqrt{(2-2{)}^2+(3-0{)}^2}=3$$
$$\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=\sqrt{(2-(-2){)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$$
よって $2a=3+5=8$ となり、$a=4$ です。

手順2：焦点の座標から $b$ を求める。
焦点が $(\pm 2,0)$ なので $\sqrt{a^2-b^2}=2$、すなわち
$$a^2-b^2=4$$
です。$a^2=16$ を代入すると $b^2=16-4=12$ となります。$b>0$ より $b=2\sqrt{3}$ です。

確認
楕円 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ に $(2,3)$ を代入すると $\frac{4}{16}+\frac{9}{12}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ となり、点 $\mathrm{P}$ を通っています。また $a=4>b=2\sqrt{3}$ も満たしています。

したがって、$a=4$, $b=2\sqrt{3}$ です。

焦点が $(\pm 2,0)$ なので $a^2-b^2=4$ …①。
点 $(2,3)$ を通るので $\frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1$ …②。

$b^2=a^2-4$ を②に代入し、$A=a^2$ とおくと $\frac{4}{A}+\frac{9}{A-4}=1$。
両辺に $A(A-4)$ をかけて $4(A-4)+9A=A(A-4)$、すなわち $13A-16=A^2-4A$。
整理して $A^2-17A+16=0$、$(A-1)(A-16)=0$。
$A=1$ のとき $b^2=-3$ となり不適。よって $A=16$、$a=4$、$b^2=12$、$b=2\sqrt{3}$。

検算：$a>b>0$ は $4>2\sqrt{3}\approx 3.46$ で成立。$\frac{4}{16}+\frac{9}{12}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ で成立。また $16-12=4$ で成立。

よって $a=4,b=2\sqrt{3}$。