平面上の曲線の問題

楕円は、2 つの焦点からの距離の和が一定である点の軌跡です。楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a>b>0)$ では、その一定の和は長軸の長さ $2a$ に等しく、焦点は $(\pm \sqrt{a^2-b^2},0)$ です。

手順 1：距離の和から $a$ を求める

点 $\mathrm{A}(2,3)$ は楕円上にあるので、$\mathrm{AF}+\mathrm{A}{\mathrm{F}}^{\prime }=2a$ が成り立ちます。

$$\mathrm{AF}=\sqrt{(2-2{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{9}=3$$
$$\mathrm{A}{\mathrm{F}}^{\prime }=\sqrt{(2+2{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$$

よって $2a=3+5=8$ より $a=4$、すなわち $a^2=16$ です。

手順 2：焦点の座標から $b^2$ を求める

焦点が $(\pm 2,0)$ なので $\sqrt{a^2-b^2}=2$、すなわち
$$a^2-b^2=4$$
です。$a^2=16$ を代入すると $b^2=16-4=12$ となります。

確認

楕円 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ に $\mathrm{A}(2,3)$ を代入すると $\frac{4}{16}+\frac{9}{12}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ となり、確かに点 $\mathrm{A}$ を通ります。

したがって $a^2=16$, $b^2=12$ です。

焦点が $(\pm 2,0)$ なので $a^2-b^2=4$。点 A$(2,3)$ から焦点 F$(2,0)$ までの距離は $3$、F${}^{\prime }(-2,0)$ までの距離は $\sqrt{4^2+3^2}=5$。楕円上の点からの2焦点への距離の和は $2a$ なので $2a=3+5=8$、よって $a=4$、$a^2=16$。$b^2=a^2-4=12$。
検算：$\frac{4}{16}+\frac{9}{12}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ で A を通る。また $a>b>0$ も満たす。