平面上の曲線の問題

手順1：$a$ と焦点を求める

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$ では $a^2=16$, $b^2=7$ であり、$a=4$ である。

焦点の $x$ 座標は $\pm \sqrt{a^2-b^2}=\pm \sqrt{16-7}=\pm 3$ である。よって $\mathrm{F}(3,0)$, ${\mathrm{F}}^{\prime }(-3,0)$ であり、
$$\mathrm{F}{\mathrm{F}}^{\prime }=6$$
となる。

手順2：楕円の性質から $\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }$ を求める

楕円上の点 $\mathrm{P}$ では、2 つの焦点からの距離の和が長軸の長さ $2a$ に等しいので
$$\mathrm{PF}+\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=2a=8$$
が成り立つ。$\mathrm{PF}=2$ であるから
$$\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=8-2=6$$
となる。

手順3：余弦定理を使う

$△\mathrm{PF}{\mathrm{F}}^{\prime }$ の 3 辺は $\mathrm{PF}=2$, $\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=6$, $\mathrm{F}{\mathrm{F}}^{\prime }=6$ である。$\angle \mathrm{FP}{\mathrm{F}}^{\prime }$ の対辺は $\mathrm{F}{\mathrm{F}}^{\prime }$ なので、余弦定理より
$$\cos \angle \mathrm{FP}{\mathrm{F}}^{\prime }=\frac{{\mathrm{PF}}^2+{\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }}^2-{\mathrm{F}{\mathrm{F}}^{\prime }}^2}{2\cdot \mathrm{PF}\cdot \mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }}=\frac{4+36-36}{2\cdot 2\cdot 6}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}$$
となる。

（参考：楕円上の点と焦点 $\mathrm{F}$ の距離は $a-\sqrt{a^2-b^2}=1$ 以上 $a+\sqrt{a^2-b^2}=7$ 以下の値をとるので、$\mathrm{PF}=2$ となる点 $\mathrm{P}$ は実際に存在する。）

したがって、$\cos \angle \mathrm{FP}{\mathrm{F}}^{\prime }=\frac{1}{6}$ である。

楕円 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$ で $a=4,b^2=7$ なので $c^2=16-7=9$、$c=3$。焦点は $\mathrm{F}(3,0)$, ${\mathrm{F}}^{\prime }(-3,0)$ で、$\mathrm{F}{\mathrm{F}}^{\prime }=6$。
楕円の性質から $\mathrm{PF}+\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=2a=8$。$\mathrm{PF}=2$ より $\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=6$。
三角形 $\mathrm{PF}{\mathrm{F}}^{\prime }$ で余弦定理を用いると
$\cos \angle \mathrm{FP}{\mathrm{F}}^{\prime }=\frac{{\mathrm{PF}}^2+{\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }}^2-{\mathrm{F}{\mathrm{F}}^{\prime }}^2}{2\cdot \mathrm{PF}\cdot \mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }}=\frac{4+36-36}{2\cdot 2\cdot 6}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}$。
確認: $\mathrm{PF}=a-ex=4-\frac{3}{4}x=2$ より $x=\frac{8}{3}$。このとき $y^2=7(1-\frac{4}{9})=\frac{35}{9}$ で、${\mathrm{PF}}^2=(\frac{8}{3}-3{)}^2+\frac{35}{9}=\frac{1}{9}+\frac{35}{9}=4$ となり条件に合う。点 P は実際に存在する。また三角形の成立条件（$2+6>6$ など）も満たす。