双曲線の方程式と焦点・漸近線

2 焦点からの距離の差が一定な点の軌跡として双曲線を理解し、 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の焦点 $(\pm a^{2} + b^{2}, 0)$ と漸近線 $y = \pm \frac{b}{a} x$ を求められる。焦点と漸近線から方程式を決められる

前提

楕円の方程式と焦点（数学C 平面上の曲線）

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算数中学高校大学大学院

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条件を満たす点の軌跡（数学II 図形と方程式）
楕円の方程式と焦点（数学C 平面上の曲線）

説明

平面上の 2 点（焦点）からの距離の「差」が一定である点の軌跡を双曲線といいます。この技能では、その軌跡を $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ という式で表し、式から焦点 $(\pm a^{2} + b^{2}, 0)$ と漸近線 $y = \pm \frac{b}{a} x$ を読み取れるようになります。逆に、焦点や漸近線がわかっているときに、双曲線の方程式を決めることもできます。楕円（距離の「和」が一定）と並べて覚えると、違いがはっきりします。

なぜそうしてよいのか

焦点を $F (c, 0)$ , $F^{'} (- c, 0)$ （ $c > 0$ ）とし、点 $P (x, y)$ が $∣ P F^{'} - P F ∣ = 2 a$ （ $0 < a < c$ ）を満たすとします。三角形の 2 辺の差は残りの 1 辺 $F F^{'} = 2 c$ より小さいので、 $a < c$ でないと軌跡はできません。条件は $(x + c)^{2} + y^{2} = (x - c)^{2} + y^{2} \pm 2 a$ です。両辺を 2 乗して整理すると $c x - a^{2} = \pm a (x - c)^{2} + y^{2}$ となり、もう一度 2 乗すると $(c^{2} - a^{2}) x^{2} - a^{2} y^{2} = a^{2} (c^{2} - a^{2})$ が得られます。ここで $c^{2} - a^{2} > 0$ なので $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ （ $b > 0$ ）とおき、両辺を $a^{2} b^{2}$ で割ると $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ になります（逆にこの式を満たす点が条件を満たすことも確かめられます）。したがって $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 、つまり焦点は $(\pm a^{2} + b^{2}, 0)$ です。楕円では $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ でしたが、双曲線では差が一定なので符号が逆になります。

漸近線（曲線が限りなく近づいていく直線）は次のように考えます。第 1 象限の部分は $x ≧ a$ で $y = \frac{b}{a} x^{2} - a^{2}$ と書けます。直線 $y = \frac{b}{a} x$ との縦の差は $\frac{b}{a} (x - x^{2} - a^{2}) = \frac{ab}{x + x ^{2} - a ^{2}}$ で、これは正の値のまま、 $x$ を大きくするほどいくらでも 0 に近づきます。対称性から他の象限も同様なので、漸近線は $y = \pm \frac{b}{a} x$ です。覚え方としては、方程式の右辺の 1 を 0 に替えた $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 0$ を解くと $y = \pm \frac{b}{a} x$ が出てきます。

なお、 $x$ 軸との交点 $(\pm a, 0)$ を頂点といい、距離の差の一定値は $2 a$ です。双曲線では楕円と違い、 $a$ と $b$ のどちらが大きくてもかまいません。また $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = - 1$ の形は $x$ と $y$ の役割を入れ替えたもので、焦点は $(0, \pm a^{2} + b^{2})$ 、漸近線は同じ $y = \pm \frac{b}{a} x$ です。

手順

焦点がどの軸上にあるかを確かめる。焦点が $x$ 軸上なら $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （ $a > 0, b > 0$ ）の形、 $y$ 軸上なら右辺が $- 1$ の形を使う
方程式が与えられたら、 $x^{2}$ の分母から $a^{2}$ 、 $y^{2}$ の分母から $b^{2}$ を読み取る（大小は気にしない）
焦点を求める： $c = a^{2} + b^{2}$ として焦点は $(\pm c, 0)$ 。頂点は $(\pm a, 0)$ 、距離の差は $2 a$
漸近線を求める：右辺の 1 を 0 に替えた $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 0$ を解いて $y = \pm \frac{b}{a} x$
方程式を決めるときは、焦点から $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 、漸近線の傾きから $\frac{b}{a}$ を式にし、連立して $a^{2}, b^{2}$ を求める

例題

2 点 $(5, 0)$ , $(- 5, 0)$ を焦点とし、直線 $y = \pm \frac{3}{4} x$ を漸近線とする双曲線の方程式を $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （ $a > 0, b > 0$ ）と表すとき、 $a^{2}$ と $b^{2}$ の値を順に求めよ。

例題の解答

手順 1：焦点 $(\pm 5, 0)$ は $x$ 軸上にあるので、 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の形でよい。
手順 5（手順 3・4 の関係を使う）：焦点が $(\pm a^{2} + b^{2}, 0)$ なので $a^{2} + b^{2} = 25$ …①。漸近線が $y = \pm \frac{b}{a} x$ なので $\frac{b}{a} = \frac{3}{4}$ 、すなわち $b = \frac{3}{4} a$ …②。
②を①に代入すると $a^{2} + \frac{9}{16} a^{2} = 25$ より $\frac{25}{16} a^{2} = 25$ 、よって $a^{2} = 16$ 。②より $b^{2} = \frac{9}{16} \cdot 16 = 9$ 。
確認： $16 + 9 = 5$ で焦点は $(\pm 5, 0)$ 、漸近線は $y = \pm \frac{3}{4} x$ となり条件に合う。求める方程式は $\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ で、 $a^{2} = 16$ , $b^{2} = 9$ 。

答え: $(16, 9)$

よくある誤り

楕円と同じように $c = a^{2} - b^{2}$ としてしまう誤り。双曲線では $c = a^{2} + b^{2}$ 。例えば $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ の焦点は $(\pm 9 + 16, 0) = (\pm 5, 0)$
漸近線の傾きを $\pm \frac{a}{b}$ と逆にしてしまう誤り。正しくは $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 0$ を解いて $y = \pm \frac{b}{a} x$ 。例えば $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ の漸近線は $y = \pm \frac{4}{3} x$ で、 $y = \pm \frac{3}{4} x$ ではない
楕円の習慣で「分母の大きいほうが $a^{2}$ 」と決めてしまう誤り。双曲線では符号が正の項（右辺が 1 なら $x^{2}$ の項）の分母が $a^{2}$ 。例えば $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ は $a^{2} = 4, b^{2} = 9$ で、焦点は $(\pm 13, 0)$
右辺が $- 1$ の $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = - 1$ でも焦点を $x$ 軸上にとってしまう誤り。この場合は $y$ 軸と交わる形で、焦点は $(0, \pm a^{2} + b^{2})$ （漸近線は $y = \pm \frac{b}{a} x$ のまま）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

2 次曲線の平行移動（数学C 平面上の曲線）
焦点からの距離と三角形（数学C 平面上の曲線）
2 次曲線と直線の共有点（数学C 平面上の曲線）
離心率と準線（数学C 平面上の曲線）
曲線の媒介変数表示（数学C 平面上の曲線）