平面上の曲線の問題

座標平面上に $2$ 点 $\mathrm{F}(\sqrt{13},0)$, ${\mathrm{F}}^{\prime }(-\sqrt{13},0)$ がある。$|\mathrm{PF}-\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }|=4$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡は、$a>0$, $b>0$ として双曲線
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
で表される。この双曲線の $2$ 本の漸近線のうち、傾きが正であるものの傾きを求めよ。

座標平面上に $2$ 点 $\mathrm{F}(2,0)$, ${\mathrm{F}}^{\prime }(-2,0)$ がある。$\mathrm{PF}+\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=6$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡は、楕円
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$$
である。$a^2$ と $b^2$ の値を、この順に組 $(a^2,b^2)$ の形で求めよ。

$a>0$, $b>0$ とする。双曲線 $$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ の焦点は $\mathrm{F}(5,0)$, ${\mathrm{F}}^{\prime }(-5,0)$ である。$C$ 上の第 $1$ 象限にある点 $\mathrm{P}$ が $\angle \mathrm{FP}{\mathrm{F}}^{\prime }=90^{\circ }$ を満たし、$△\mathrm{PF}{\mathrm{F}}^{\prime }$ の面積は $9$ である。$C$ の $2$ 本の漸近線のうち、傾きが正であるものの傾きを求めよ。

$a>0$, $b>0$ とする。座標平面上の双曲線
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
の焦点は $(2\sqrt{5},0)$, $(-2\sqrt{5},0)$ で、漸近線は 2 直線 $y=2x$, $y=-2x$ である。$a$, $b$ の値を求め、組 $(a,b)$ の形で答えよ。

座標平面上に点 $\mathrm{F}(2,0)$ と直線 $\ell :x=8$ がある。点 $\mathrm{P}$ から直線 $\ell$ に下ろした垂線を $\mathrm{PH}$ とする。$\mathrm{PF}:\mathrm{PH}=1:2$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡は楕円
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$$
になる。$a,b$ の値を、組 $(a,b)$ の形でこの順に求めよ。