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平面上の曲線の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学C 平面上の曲線

$a > 0$ , $b > 0$ とする。座標平面上の双曲線
$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$
の焦点は $(25, 0)$ , $(- 25, 0)$ で、漸近線は 2 直線 $y = 2 x$ , $y = - 2 x$ である。 $a$ , $b$ の値を求め、組 $(a, b)$ の形で答えよ。

この問題で使うもの

双曲線の方程式と焦点・漸近線（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（38 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の焦点の座標と漸近線の式を、 $a$ , $b$ を使って表す公式を使いましょう。

ヒント 2

焦点は $(\pm a^{2} + b^{2}, 0)$ 、漸近線は $y = \pm \frac{b}{a} x$ です。これらを与えられた条件と比べて、 $a$ , $b$ についての式を 2 つ作りましょう。

ヒント 3

漸近線から $\frac{b}{a} = 2$ より $b = 2 a$ 、焦点から $a^{2} + b^{2} = 20$ が得られます。 $b = 2 a$ を代入すると $5 a^{2} = 20$ となります。

答えと解説

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(2, 4)

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解説を読む

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ について、次のことを使います。

焦点は $(\pm a^{2} + b^{2}, 0)$
漸近線は $y = \pm \frac{b}{a} x$

手順 1：漸近線から $a$ と $b$ の関係を求める

漸近線が $y = \pm 2 x$ なので、傾きを比べると
$\frac{b}{a} = 2 すなわち b = 2 a (1)$

手順 2：焦点から式を作る

焦点が $(\pm 25, 0)$ なので
$a^{2} + b^{2} = 25 すなわち a^{2} + b^{2} = 20 (2)$

手順 3：連立して解く

$(1)$ を $(2)$ に代入すると
$a^{2} + (2 a)^{2} = 20$
$5 a^{2} = 20$
$a^{2} = 4$
$a > 0$ より $a = 2$ です。 $(1)$ より $b = 2 \times 2 = 4$ です。

確かめ： $2^{2} + 4^{2} = 20 = 25$ 、 $\frac{b}{a} = \frac{4}{2} = 2$ となり、条件を満たします。双曲線の方程式は $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ です。

よって $(a, b) = (2, 4)$ です。

別解

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の焦点は $(\pm a^{2} + b^{2}, 0)$ なので、 $a^{2} + b^{2} = (25)^{2} = 20$ ……①。漸近線は $y = \pm \frac{b}{a} x$ なので、 $\frac{b}{a} = 2$ より $b = 2 a$ ……②。②を①に代入すると $a^{2} + 4 a^{2} = 20$ より $a^{2} = 4$ 。 $a > 0$ より $a = 2$ 、よって $b = 4$ 。検算： $a^{2} + b^{2} = 4 + 16 = 20$ で焦点は $(\pm 25, 0)$ 、 $b / a = 2$ で漸近線は $y = \pm 2 x$ となり、条件を満たす。

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