条件を満たす点の軌跡

動点を $P (x, y)$ とおき、 $PA^{2} + PB^{2} = k$ や $PA : PB = m : n$ （アポロニウスの円）などの条件を式にして、軌跡の方程式（直線・円）を求められる

前提

円の方程式（数学II 図形と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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円の方程式（数学II 図形と方程式）

説明

動く点 $P$ が「2 定点からの距離の比が一定」「距離の 2 乗の和が一定」などの条件を満たして動くとき、 $P$ が描く図形（軌跡）を方程式で求められるようになります。 $P (x, y)$ とおいて条件を $x, y$ の式に直し、整理すると直線や円の方程式になります。円になる場合は、平方完成で中心と半径まで読み取れます。ただし条件によっては、軌跡が 1 点だけになったり、条件を満たす点が存在しなかったりすることもあります。

なぜそうしてよいのか

点 $P$ の軌跡とは、条件を満たす点を全部集めた図形のことです。 $P (x, y)$ とおき、条件を $x, y$ の等式に書き直します。この等式が成り立つ点の集まりが、そのまま軌跡になります。このとき大切なのは、式変形が元の条件と同じ意味（同値）であることです。たとえば $PA \geq 0, PB \geq 0$ なので、 $PA = 2 PB$ と $PA^{2} = 4 PB^{2}$ は同じ意味です。だから、根号を消すために両辺を 2 乗してかまいません。

2 点間の距離の 2 乗は $(x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ の形をしています。そのため、条件式を展開すると $x^{2}, y^{2}$ の項が同じ係数で現れ、 $x y$ の項は出てきません。 $x^{2}, y^{2}$ の係数で割ると $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ の形になり、平方完成すると $(x - p)^{2} + (y - q)^{2} = c$ となります。ここで右辺 $c$ の符号で図形が決まります。 $c > 0$ なら中心 $(p, q)$ 、半径 $c$ の円です。 $c = 0$ なら点 $(p, q)$ の 1 点だけです。 $c < 0$ なら、左辺は 0 以上なので成り立つ点がなく、軌跡は存在しません。

たとえば $a > 0$ として $A (- a, 0), B (a, 0)$ のとき、 $PA^{2} + PB^{2} = k$ を計算すると $(x + a)^{2} + y^{2} + (x - a)^{2} + y^{2} = k$ です。展開すると $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 a^{2} = k$ 、つまり $x^{2} + y^{2} = \frac{k - 2 a ^{2}}{2}$ になります。 $k > 2 a^{2}$ なら原点（ $AB$ の中点）を中心とする半径 $\frac{k - 2 a ^{2}}{2}$ の円です。 $k = 2 a^{2}$ なら原点 1 点だけ、 $k < 2 a^{2}$ なら軌跡はありません。比の条件 $PA : PB = m : n$ （ $m > 0, n > 0$ ）では、 $m \neq = n$ のとき必ず円になり、これをアポロニウスの円といいます。この円は、線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点と外分する点を直径の両端とする円です。一方、 $m = n$ のときは $x^{2}, y^{2}$ の項が打ち消し合って 1 次式が残り、軌跡は線分 $AB$ の垂直二等分線（直線）になります。

手順

手順1: 動点を $P (x, y)$ とおき、定点の座標を確認する。
手順2: 条件を距離の式で書く。比の条件 $PA : PB = m : n$ は $n PA = m PB$ と直す。両辺が 0 以上なので、2 乗して $n^{2} PA^{2} = m^{2} PB^{2}$ としてよい。
手順3: $PA^{2} = (x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ などを代入して展開する。 $x^{2}, y^{2}$ の係数で割り、 $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ の形に整理する（ $x^{2}, y^{2}$ が消えれば 1 次式になり、軌跡は直線）。
手順4: 平方完成して $(x - p)^{2} + (y - q)^{2} = c$ の形にする。 $c > 0$ なら中心 $(p, q)$ ・半径 $c$ の円、 $c = 0$ なら点 $(p, q)$ のみ、 $c < 0$ なら軌跡なし、と判定する。
手順5: 逆に、得られた図形上のどの点も元の条件を満たすことを確かめる。同値な変形だけをしていれば成り立つ。除くべき点があればここで除く。

例題

2 点 $A (0, 0)$ , $B (3, 0)$ に対し、 $PA : PB = 2 : 1$ を満たす点 $P$ の軌跡は円である。この円の中心を $(a, b)$ 、半径を $r$ とするとき、 $(a, b, r)$ を求めよ。

例題の解答

手順1: $P (x, y)$ とおく。定点は $A (0, 0)$ , $B (3, 0)$ である。

手順2: $PA : PB = 2 : 1$ より $PA = 2 PB$ である。両辺とも 0 以上なので、これは $PA^{2} = 4 PB^{2}$ と同値である。

手順3: 距離の式を代入すると
$x^{2} + y^{2} = 4 {(x - 3)^{2} + y^{2}}$
となる。展開すると $x^{2} + y^{2} = 4 x^{2} - 24 x + 36 + 4 y^{2}$ である。移項して $3 x^{2} + 3 y^{2} - 24 x + 36 = 0$ とし、両辺を 3 で割ると $x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0$ になる。

手順4: 平方完成すると $(x - 4)^{2} - 16 + y^{2} + 12 = 0$ 、すなわち
$(x - 4)^{2} + y^{2} = 4$
となる。右辺は $4 > 0$ なので円であり、中心は $(4, 0)$ 、半径は $4 = 2$ である。

手順5: 変形はすべて同値なので、この円上のすべての点が条件を満たす。除く点はない。

確認: 線分 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点は $(2, 0)$ 、外分する点は $(6, 0)$ である。この 2 点を直径の両端とする円は中心 $(4, 0)$ 、半径 $2$ となり、結果と一致する。

したがって $(a, b, r) = (4, 0, 2)$ 。

答え: $(4, 0, 2)$

よくある誤り

比 $PA : PB = 2 : 1$ を $2 PA = PB$ としてしまう誤り。正しくは、外側の項どうし・内側の項どうしを掛けて $PA \cdot 1 = PB \cdot 2$ 、すなわち $PA = 2 PB$ 。
2 乗するときに係数を 2 乗し忘れ、 $PA = 2 PB$ から $PA^{2} = 2 PB^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $PA^{2} = 4 PB^{2}$ 。
$3 x^{2} + 3 y^{2} - 24 x + 36 = 0$ のまま平方完成しようとして、中心や半径を誤る誤り。正しくは、まず $x^{2}, y^{2}$ の係数 3 で割って $x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0$ にしてから平方完成し、 $(x - 4)^{2} + y^{2} = 4$ とする。
平方完成した右辺の符号を確かめずに、いつでも円だと答えてしまう誤り。たとえば $A (- 1, 0), B (1, 0)$ で $PA^{2} + PB^{2} = 1$ なら $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 = 1$ より $x^{2} + y^{2} = - \frac{1}{2}$ となり、条件を満たす点はない（軌跡なし）。また $PA^{2} + PB^{2} = 2$ なら $x^{2} + y^{2} = 0$ となり、軌跡は原点 1 点だけである。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

動点に連動する点の軌跡（数学II 図形と方程式）
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楕円の方程式と焦点（数学C 平面上の曲線）
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