図形と方程式の問題

方針：動点を $\mathrm{P}(x,y)$ とおき、条件を $x,y$ の式に直します。

手順1：距離の 2 乗を座標で表す

2 点間の距離の公式より
$${\mathrm{PA}}^2=(x-1{)}^2+y^2,{\mathrm{PB}}^2=(x-3{)}^2+(y-2{)}^2$$
です。

手順2：条件を式にする

${\mathrm{PA}}^2-{\mathrm{PB}}^2=8$ に代入すると
$$(x-1{)}^2+y^2-\{(x-3{)}^2+(y-2{)}^2\}=8$$

手順3：展開して整理する

$$(x^2-2x+1)+y^2-(x^2-6x+9)-(y^2-4y+4)=8$$
$x^2$ と $y^2$ が消えて
$$4x+4y-12=8$$
$$4x+4y=20$$
$$x+y=5$$
よって $y=-x+5$ です。

手順4：逆を確かめる

上の変形はすべて同値変形なので、逆に直線 $y=-x+5$ 上のどの点 $\mathrm{P}$ も ${\mathrm{PA}}^2-{\mathrm{PB}}^2=8$ を満たします。

したがって、点 $\mathrm{P}$ の軌跡は直線 $y=-x+5$ であり、求める右辺は $-x+5$ です。

P(x,y) とおく。PA^2=(x-1)^2+y^2、PB^2=(x-3)^2+(y-2)^2。
PA^2-PB^2=(x^2-2x+1+y^2)-(x^2-6x+9+y^2-4y+4)=4x+4y-12。
これが 8 に等しいので 4x+4y-12=8、すなわち x+y=5。よって y=-x+5。
検算：P(5,0) のとき PA^2=16、PB^2=4+4=8、差は 8 で成り立つ。P(0,5) のとき PA^2=1+25=26、PB^2=9+9=18、差は 8 で成り立つ。