図形と方程式の問題

手順 1：動く点と求める点に文字をおく

放物線上を動く点を $\mathrm{Q}(s,t)$、軌跡を求めたい点を $\mathrm{P}(x,y)$ とおく。$\mathrm{Q}$ は放物線 $y=x^2$ 上にあるので
$$t=s^2(1)$$
が成り立つ。

手順 2：$\mathrm{P}$ の座標を $s,t$ で表す

$\mathrm{P}$ は $\mathrm{A}(4,2)$ と $\mathrm{Q}(s,t)$ を結ぶ線分の中点だから
$$x=\frac{4+s}{2},y=\frac{2+t}{2}$$

手順 3：$s,t$ を $x,y$ で表す

上の 2 式の両辺を 2 倍して整理すると
$$s=2x-4,t=2y-2(2)$$

手順 4：$\mathrm{Q}$ の満たす式に代入する

$(2)$ を $(1)$ に代入すると
$$2y-2=(2x-4{)}^2$$
右辺を展開して
$$2y-2=4x^2-16x+16$$
$$2y=4x^2-16x+18$$
$$y=2x^2-8x+9$$

手順 5：範囲の確認

$s$ はすべての実数値をとるので、$x=\frac{4+s}{2}$ もすべての実数値をとる。よって除く点はなく、$\mathrm{P}$ の軌跡は放物線 $y=2x^2-8x+9$ 全体である。

（確かめ：$\mathrm{Q}(0,0)$ のとき $\mathrm{P}(2,1)$ で、$2\cdot 4-16+9=1$ となり成り立つ。）

したがって、求める式は $2x^2-8x+9$ である。

点 $\mathrm{Q}(s,s^2)$ とおく。中点 $\mathrm{P}(x,y)$ は $x=\frac{4+s}{2}$, $y=\frac{2+s^2}{2}$ である。
第1式から $s=2x-4$。これを第2式に代入すると $y=\frac{2+(2x-4{)}^2}{2}=\frac{4x^2-16x+18}{2}=2x^2-8x+9$。
$s$ は任意の実数をとるので $x$ も任意の実数をとり、制限はない。
検算：$s=0$ のとき $\mathrm{Q}(0,0)$、$\mathrm{P}(2,1)$。$2\cdot 4-16+9=1$ で一致する。
よって軌跡は放物線 $y=2x^2-8x+9$ である。