動点に連動する点の軌跡

曲線上を動く点 $Q (s, t)$ に連動する点 $P (x, y)$ （内分点など）について、 $s, t$ を $x, y$ で表して $Q$ の満たす式に代入し、 $P$ の軌跡を求められる

前提

条件を満たす点の軌跡（数学II 図形と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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条件を満たす点の軌跡（数学II 図形と方程式）

説明

曲線上を動く点 $Q$ につられて動く点 $P$ （ $Q$ と定点を結ぶ線分の中点・内分点など）が、どんな図形を描くかを求める技能です。 $Q$ の座標を $(s, t)$ 、 $P$ の座標を $(x, y)$ とおき、 $s, t$ を $x, y$ で表して $Q$ の満たす式に代入すると、 $x, y$ だけの式、つまり $P$ の軌跡の方程式が得られます。円周上の点と定点を結ぶ線分の中点や内分点の軌跡、三角形の重心（3 頂点の $x$ 座標の平均、 $y$ 座標の平均を座標とする点）の軌跡などで使います。

なぜそうしてよいのか

前提の技能では、 $P (x, y)$ の満たす条件が最初から $x, y$ の式で与えられていました。今回は条件が「 $P$ を作るもとの点 $Q$ が曲線 $C$ 上にある」という形で、 $Q$ を経由して与えられています。そこで「点 $(x, y)$ が軌跡上にある」とは「 $(x, y)$ を作るような $Q (s, t)$ が $C$ 上にとれる」ということだ、と言い換えます。

例えば $A (a, b)$ と $Q (s, t)$ の中点が $P$ なら $x = \frac{a + s}{2}, y = \frac{b + t}{2}$ です。これを逆に解くと $s = 2 x - a, t = 2 y - b$ となり、 $P$ を決めればそれを作る $Q$ がただ 1 つに決まります。したがって「 $P (x, y)$ が軌跡上にある」 $⟺$ 「 $Q (2 x - a, 2 y - b)$ が $C$ 上にある」 $⟺$ 「 $C$ の式の $s, t$ に $2 x - a, 2 y - b$ を代入した式が成り立つ」となります。この最後の式が $x, y$ だけの関係式、すなわち軌跡の方程式です。

要するに、知りたい点 $P$ の座標でもとの点 $Q$ の座標を表せば、 $Q$ についての条件を $P$ についての条件に書き換えられる、というのがこの方法の仕組みです。

手順

動く点を $Q (s, t)$ 、軌跡を求める点を $P (x, y)$ とおき、 $Q$ の満たす式を書く（例: $s^{2} + t^{2} = r^{2}$ ）
$P$ と $Q$ の関係（中点・内分点の公式など）を、 $x, y$ を $s, t$ で表す式にする（例: $x = \frac{a + s}{2}, y = \frac{b + t}{2}$ ）
その式を逆に解いて、 $s, t$ を $x, y$ で表す（例: $s = 2 x - a, t = 2 y - b$ ）
$Q$ の満たす式の $s, t$ に代入して、 $x, y$ だけの式を作る
式を整理（平方完成など）して図形を読み取る。 $Q$ の動く範囲に制限があれば、それに対応して $P$ から除く点がないか確かめる

例題

点 $Q$ が円 $x^{2} + y^{2} = 9$ 上を動くとき、点 $A (6, 0)$ と $Q$ を結ぶ線分 $AQ$ を $1 : 2$ に内分する点 $P$ の軌跡は円になる。この円の中心を $(a, b)$ 、半径を $r$ とするとき、組 $(a, b, r)$ を求めよ。

例題の解答

手順1: $Q (s, t)$ 、 $P (x, y)$ とおく。 $Q$ は円上にあるので $s^{2} + t^{2} = 9$ …①

手順2: $P$ は $AQ$ を $1 : 2$ に内分するので、 $A$ の座標に $2$ 、 $Q$ の座標に $1$ を掛けて
$x = \frac{2 \cdot 6 + 1 \cdot s}{1 + 2} = \frac{12 + s}{3}, y = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot t}{1 + 2} = \frac{t}{3}$

手順3: 逆に解くと $s = 3 x - 12, t = 3 y$ 。

手順4: ①に代入して $(3 x - 12)^{2} + (3 y)^{2} = 9$ 。 $(3 x - 12)^{2} = 9 (x - 4)^{2}$ なので $9 (x - 4)^{2} + 9 y^{2} = 9$ 。

手順5: 両辺を $9$ で割って $(x - 4)^{2} + y^{2} = 1$ 。 $Q$ は円 $x^{2} + y^{2} = 9$ 全体を動き、この円上のどの点 $(x, y)$ に対しても対応する $Q (3 x - 12, 3 y)$ が①を満たしてただ 1 つ存在するので、除く点はない。よって軌跡は中心 $(4, 0)$ 、半径 $1$ の円であり、 $(a, b, r) = (4, 0, 1)$ 。

答え: $(4, 0, 1)$

よくある誤り

内分の比の向きを逆にしてしまう誤り。 $AQ$ を $1 : 2$ に内分する点は $A$ に近いので $x = \frac{2 \cdot 6 + 1 \cdot s}{3}$ 。 $x = \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot s}{3}$ としてしまうと、 $AQ$ を $2 : 1$ に内分する点（ $Q$ に近い点）を求めたことになる。
$x = \frac{12 + s}{3}, y = \frac{t}{3}$ を $s, t$ について解かずに、 $s^{2} + t^{2} = 9$ の $s, t$ にそのまま $\frac{12 + s}{3}, \frac{t}{3}$ を代入して $(\frac{12 + s}{3})^{2} + (\frac{t}{3})^{2} = 9$ としてしまう誤り。これは $s, t$ が残ったままで $P$ の式になっておらず、しかも①とは別の条件になってしまう。正しくは先に $s = 3 x - 12, t = 3 y$ と解き、①に代入して $(3 x - 12)^{2} + (3 y)^{2} = 9$ とする。
整理の途中で係数をくくり出し忘れる誤り。 $(3 x - 12)^{2} + 9 y^{2} = 9$ を $(x - 12)^{2} + y^{2} = 1$ としてしまうのは誤りで、正しくは $(3 x - 12)^{2} = {3 (x - 4)}^{2} = 9 (x - 4)^{2}$ なので $(x - 4)^{2} + y^{2} = 1$ 。
除外点を確かめ忘れる誤り。例えば $A (3, 0), B (- 3, 0)$ と円 $s^{2} + t^{2} = 9$ 上の点 $Q (s, t)$ で三角形 $QAB$ を作り、その重心 $P$ （3 頂点の座標の平均の点）を考えると $x = \frac{3 - 3 + s}{3} = \frac{s}{3}, y = \frac{t}{3}$ より $x^{2} + y^{2} = 1$ となる。しかし $Q$ が直線 $AB$ 上（ $t = 0$ ）にくると三角形ができないので、 $t = 0 ⟺ y = \frac{t}{3} = 0$ により、軌跡は円 $x^{2} + y^{2} = 1$ から 2 点 $(1, 0), (- 1, 0)$ を除いたものとなる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の章末問題レベル）
座標平面上に、定点 $A (4, 2)$ と円 $C : x^{2} + y^{2} = 9$ がある。点 $Q$ が円 $C$ 上を動くとき、線分 $AQ$ を $1 : 2$ に内分する点 $P$ の軌跡は円になる。この円の中心の座標を $(a, b)$ 、半径を $r$ とするとき、組 $(a, b, r)$ を求めよ。
$A (4, 2)$ $Q$ $P$ $x$ $y$ $O$ $C$
Q の位置の一例