図形と方程式の問題

点 $\mathrm{P}$ の座標を $(x,y)$、点 $\mathrm{Q}$ の座標を $(s,t)$ とおく。

点 $\mathrm{Q}$ は円 $C$ 上にあるから
$$s^2+t^2=9(1)$$

点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AQ}$ を $1:2$ に内分するので、内分点の公式より
$$x=\frac{2\cdot 4+1\cdot s}{1+2}=\frac{8+s}{3},y=\frac{2\cdot 2+1\cdot t}{1+2}=\frac{4+t}{3}$$
これを $s,t$ について解くと
$$s=3x-8,t=3y-4(2)$$

$(2)$ を $(1)$ に代入すると
$$(3x-8{)}^2+(3y-4{)}^2=9$$
両辺を $9$ で割ると
$${\left(x-\frac{8}{3}\right)}^2+{\left(y-\frac{4}{3}\right)}^2=1$$

逆に、この円上の任意の点 $(x,y)$ に対して $(2)$ で $s,t$ を定めると $(1)$ を満たすので、$\mathrm{Q}(s,t)$ は円 $C$ 上の点であり、$\mathrm{P}$ は $\mathrm{AQ}$ を $1:2$ に内分する点になる。よって求める軌跡は円
$${\left(x-\frac{8}{3}\right)}^2+{\left(y-\frac{4}{3}\right)}^2=1$$
全体である。

したがって中心は $\left(\frac{8}{3},\frac{4}{3}\right)$、半径は $1$ であり、
$$(a,b,r)=\left(\frac{8}{3},\frac{4}{3},1\right)$$

点 $\mathrm{Q}(s,t)$ とすると $s^2+t^2=9$。線分 $\mathrm{AQ}$ を $1:2$ に内分する点 $\mathrm{P}(x,y)$ は、$\mathrm{A}$ に近い側の点で $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$ となる。よって $x=\frac{2\cdot 4+1\cdot s}{3}=\frac{8+s}{3}$、$y=\frac{2\cdot 2+1\cdot t}{3}=\frac{4+t}{3}$。ゆえに $s=3x-8$、$t=3y-4$。これを $s^2+t^2=9$ に代入すると $(3x-8{)}^2+(3y-4{)}^2=9$、すなわち $9{\left(x-\frac{8}{3}\right)}^2+9{\left(y-\frac{4}{3}\right)}^2=9$ より ${\left(x-\frac{8}{3}\right)}^2+{\left(y-\frac{4}{3}\right)}^2=1$。中心 $\left(\frac{8}{3},\frac{4}{3}\right)$、半径 $1$。検算：$\mathrm{Q}=(3,0)$ のとき $\mathrm{P}=\left(\frac{11}{3},\frac{4}{3}\right)$ で、中心との距離は $1$ となり成立。