図形と方程式の問題

点 $\mathrm{Q}$ の座標を $(s,t)$、点 $\mathrm{P}$ の座標を $(x,y)$ とおく。

手順1：$\mathrm{Q}$ の満たす式を書く。
$\mathrm{Q}$ は放物線 $C$ 上にあるので
$$t=s^2(1)$$

手順2：$\mathrm{P}$ の座標を $s,t$ で表す。
$\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AQ}$ の中点なので
$$x=\frac{4+s}{2},y=\frac{-2+t}{2}$$

手順3：$s,t$ を $x,y$ で表す。
上の式から
$$s=2x-4,t=2y+2$$

手順4：$(1)$ に代入する。
$$2y+2=(2x-4{)}^2$$
$$2y+2=4x^2-16x+16$$
$$y=2x^2-8x+7$$

逆に、この放物線上の任意の点 $(x,y)$ に対して $s=2x-4$, $t=2y+2$ とおくと $t=s^2$ を満たすので、点 $(s,t)$ は $C$ 上にあり、$(x,y)$ はその点と $\mathrm{A}$ を結ぶ線分の中点になる。よって $\mathrm{P}$ の軌跡は放物線 $y=2x^2-8x+7$ 全体である（平方完成すると $y=2(x-2{)}^2-1$ で、頂点 $(2,-1)$ の放物線）。

確認：$\mathrm{Q}(0,0)$ のとき $\mathrm{P}(2,-1)$ で、$2\cdot 4-16+7=-1$ となり合っている。

したがって $f(x)=2x^2-8x+7$。

Q(t, t^2) とおく。中点 P(x, y) は x = (4+t)/2, y = (-2+t^2)/2 である。
これより t = 2x - 4 となる。
y = ((2x-4)^2 - 2)/2 = (4x^2 - 16x + 16 - 2)/2 = 2x^2 - 8x + 7 である。
t は任意の実数をとれるので、x も任意の実数をとり、軌跡は放物線全体である。
検算: t=0 のとき Q(0,0)、P(2,-1)。f(2)=8-16+7=-1 で一致する。t=2 のとき Q(2,4)、P(3,1)。f(3)=18-24+7=1 で一致する。
よって f(x)=2x^2-8x+7。