図形と方程式の問題

点と直線の距離の公式を使います。点 $(x_0,y_0)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d$ は
$$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
です。

手順1：直線を一般形 $ax+by+c=0$ に直す。
$y=2x+1$ の右辺をすべて左辺に移すと $-2x+y-1=0$ です。両辺に $-1$ を掛けて
$$2x-y+1=0$$
とします。よって $a=2$, $b=-1$, $c=1$ です。

手順2：公式に代入する。
点 $\mathrm{A}(4,3)$ なので $x_0=4$, $y_0=3$ です。
分子は
$$|2\cdot 4+(-1)\cdot 3+1|=|8-3+1|=|6|=6$$
分母は
$$\sqrt{2^2+(-1{)}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$$
よって
$$d=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$$

手順3：分母を有理化して答える。
点 $\mathrm{A}$ と直線 $\ell$ の距離は $\frac{6\sqrt{5}}{5}$ です。

直線 $\ell$ は $2x-y+1=0$ と書ける。点と直線の距離の公式より、
$d=\frac{|2\cdot 4-3+1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|6|}{\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。

検算：A から $\ell$ に下ろした垂線の足 H を求める。垂線の傾きは $-\frac{1}{2}$ なので、直線 $y-3=-\frac{1}{2}(x-4)$、すなわち $y=-\frac{1}{2}x+5$。$2x+1=-\frac{1}{2}x+5$ より $\frac{5}{2}x=4$、$x=\frac{8}{5}$、$y=\frac{21}{5}$。よって H$\left(\frac{8}{5},\frac{21}{5}\right)$。AH${}^2={\left(4-\frac{8}{5}\right)}^2+{\left(3-\frac{21}{5}\right)}^2={\left(\frac{12}{5}\right)}^2+{\left(\frac{6}{5}\right)}^2=\frac{144+36}{25}=\frac{180}{25}=\frac{36}{5}$。したがって AH $=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$ となり、公式の結果と一致する。