図形と方程式の問題

直線 BC の方程式を一般形で表す

直線 $\mathrm{BC}$ の傾きは
$$\frac{-1-2}{4-0}=-\frac{3}{4}$$
で、点 $\mathrm{B}(0,2)$ を通る。よって
$$y-2=-\frac{3}{4}(x-0)$$
両辺を $4$ 倍して整理すると
$$3x+4y-8=0$$
となる。点 $\mathrm{C}$ を代入すると $3\cdot 4+4\cdot (-1)-8=0$ となり、確かに $\mathrm{C}$ もこの直線上にある。

点と直線の距離の公式を使う

点 $(x_0,y_0)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離は
$$\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
である。$a=3$, $b=4$, $c=-8$, $(x_0,y_0)=(5,5)$ を代入すると、
$$\frac{|3\cdot 5+4\cdot 5-8|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|15+20-8|}{\sqrt{25}}=\frac{27}{5}$$

したがって、求める距離は $\frac{27}{5}$ である。

直線 BC の方向ベクトルは $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(4,-3)$ である。点 B$(0,2)$ を通るので、直線 BC は $3(x-0)+4(y-2)=0$、すなわち $3x+4y-8=0$ となる。検算として B$(0,2)$ では $0+8-8=0$、C$(4,-1)$ では $12-4-8=0$ となり、ともに成り立つ。
点 A$(5,5)$ との距離は $\frac{|3\cdot 5+4\cdot 5-8|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{27}{5}$ である。
別解として面積で確かめる。$\overrightarrow{\mathrm{BA}}=(5,3)$、$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(4,-3)$ より、三角形 ABC の面積は $\frac{1}{2}|5\cdot (-3)-3\cdot 4|=\frac{27}{2}$ である。BC $=5$ なので、高さは $2\cdot \frac{27}{2}÷5=\frac{27}{5}$ となり、一致する。