図形と方程式の問題

内分点 P の座標

線分 $\mathrm{AB}$ を $2:1$ に内分する点 $\mathrm{P}$ の座標は
$$x=\frac{1\cdot 1+2\cdot 7}{2+1}=\frac{15}{3}=5,y=\frac{1\cdot 2+2\cdot 5}{2+1}=\frac{12}{3}=4$$
より、$\mathrm{P}(5,4)$ である。

直線 $\ell$ の方程式

直線 $\mathrm{AB}$ の傾きは
$$\frac{5-2}{7-1}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$
である。$\ell$ の傾きを $m$ とすると、$\ell$ は $\mathrm{AB}$ に垂直なので $\frac{1}{2}\cdot m=-1$ が成り立ち、$m=-2$ となる。

よって $\ell$ は点 $(5,4)$ を通り、傾きが $-2$ の直線であるから
$$y-4=-2(x-5)$$
となる。これを整理すると
$$2x+y-14=0$$
である。

点と直線の距離

点 $(x_1,y_1)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離は $\frac{|a{x}_1+b{y}_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ である。

これを用いると、点 $\mathrm{C}(0,-1)$ と $\ell$ の距離は
$$\frac{|2\cdot 0+(-1)-14|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{15}{\sqrt{5}}=\frac{15\sqrt{5}}{5}=3\sqrt{5}$$
となる。

答えは $3\sqrt{5}$ である。

P は AB を 2:1 に内分する点なので、$P=\frac{1\cdot A+2\cdot B}{3}=\left(\frac{1+14}{3},\frac{2+10}{3}\right)=(5,4)$。
$\overrightarrow{AB}=(6,3)$ なので、直線 $\ell$ の法線ベクトルは $(6,3)$、すなわち $(2,1)$ に平行。
$\ell$: $2(x-5)+1(y-4)=0$ より $2x+y-14=0$。
点 C(0,-1) との距離は $\frac{|0-1-14|}{\sqrt{5}}=\frac{15}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}$。
検算: P から C へのベクトルは $(-5,-5)$。単位ベクトル $(2,1)/\sqrt{5}$ との内積は $(-10-5)/\sqrt{5}=-15/\sqrt{5}$、絶対値は $3\sqrt{5}$。一致する。