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図形と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 図形と方程式

座標平面上に 2 点 $A (- 3, 2)$ , $B (5, - 6)$ がある。線分 $AB$ を $3 : 1$ に内分する点 $P$ の座標を求めよ。

A (- 3, 2)

B (5, - 6)

x

y

O

線分 AB の図（点 P は省略）

この問題で使うもの

2点間の距離と内分点・外分点（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（30 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

線分を $m : n$ に内分する点の座標の公式を使います。

ヒント 2

$m : n$ に内分する点は $(\frac{n x _{1} + m x _{2}}{m + n}, \frac{n y _{1} + m y _{2}}{m + n})$ です。 $m = 3$ , $n = 1$ とし、 $A$ の座標には $PB$ 側の比 $1$ 、 $B$ の座標には $AP$ 側の比 $3$ を掛けます。

ヒント 3

$x$ 座標は $\frac{1 \cdot ( - 3 ) + 3 \cdot 5}{4} = \frac{12}{4}$ です。 $y$ 座標も同じように $\frac{1 \cdot 2 + 3 \cdot ( - 6 )}{4}$ を計算します。

答えと解説

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(3, - 4)

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解説を読む

内分点の公式を使います。

2 点 $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$ を結ぶ線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点 $P$ （ $AP : PB = m : n$ ）の座標は
$(\frac{n x _{1} + m x _{2}}{m + n}, \frac{n y _{1} + m y _{2}}{m + n})$
です。 $A$ の座標には $PB$ 側の比 $n$ を、 $B$ の座標には $AP$ 側の比 $m$ を掛けることに注意します。

今回は $(x_{1}, y_{1}) = (- 3, 2)$ , $(x_{2}, y_{2}) = (5, - 6)$ , $m = 3$ , $n = 1$ です。つまり、 $A$ の座標に $1$ 、 $B$ の座標に $3$ を掛けます。

$x$ 座標は
$\frac{1 \cdot ( - 3 ) + 3 \cdot 5}{3 + 1} = \frac{- 3 + 15}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$y$ 座標は
$\frac{1 \cdot 2 + 3 \cdot ( - 6 )}{3 + 1} = \frac{2 - 18}{4} = \frac{- 16}{4} = - 4$

（確認） $A$ から $P$ へは $x$ 方向に $6$ 、 $y$ 方向に $- 6$ 進み、 $P$ から $B$ へは $x$ 方向に $2$ 、 $y$ 方向に $- 2$ 進むので、 $AP : PB = 3 : 1$ になっています。

よって、 $P (3, - 4)$ です。

別解

内分点の公式より、P = (1·A + 3·B)/(3+1) である（AP:PB = 3:1 なので A に 1、B に 3 の重みがかかる）。

$x = \frac{1 \cdot ( - 3 ) + 3 \cdot 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$y = \frac{1 \cdot 2 + 3 \cdot ( - 6 )}{4} = \frac{- 16}{4} = - 4$

よって P(3, -4)。

検算：AB のベクトルは (8, -8)。A から 3/4 進むと (-3+6, 2-6) = (3, -4) となり、一致する。

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