図形と方程式の問題

外分点の公式を使います。2 点 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ を結ぶ線分を $m:n$ $(m\ne n)$ に外分する点の座標は
$$\left(\frac{-n{x}_1+m{x}_2}{m-n},\frac{-n{y}_1+m{y}_2}{m-n}\right)$$
です。これは内分点の公式の $n$ を $-n$ に置きかえた形です。

今回は $(x_1,y_1)=(2,-1)$, $(x_2,y_2)=(6,3)$, $m=3$, $n=1$ です。

$x$ 座標は
$$\frac{-1\cdot 2+3\cdot 6}{3-1}=\frac{-2+18}{2}=\frac{16}{2}=8$$
$y$ 座標は
$$\frac{-1\cdot (-1)+3\cdot 3}{3-1}=\frac{1+9}{2}=\frac{10}{2}=5$$

よって $\mathrm{P}(8,5)$ です。

（確かめ）$\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ へは $x$ が $4$, $y$ が $4$ 増えます。$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=3:1$ で $\mathrm{P}$ は $\mathrm{B}$ の先にあるので、$\mathrm{AP}$ は $\mathrm{AB}$ の $\frac{3}{2}$ 倍です。$x$ は $2+4\times \frac{3}{2}=8$, $y$ は $-1+4\times \frac{3}{2}=5$ となり、一致します。

線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に外分する点の座標は $\left(\frac{-n{x}_1+m{x}_2}{m-n},\frac{-n{y}_1+m{y}_2}{m-n}\right)$ である。$m=3,n=1$、$\mathrm{A}(2,-1)$、$\mathrm{B}(6,3)$ を代入する。

$x=\frac{-1\cdot 2+3\cdot 6}{3-1}=\frac{16}{2}=8$

$y=\frac{-1\cdot (-1)+3\cdot 3}{3-1}=\frac{10}{2}=5$

よって $\mathrm{P}(8,5)$。

検算：$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(6,6)$、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(4,4)$ なので、$\mathrm{AP}:\mathrm{AB}=3:2$ である。P は B の先にあり、$\mathrm{PB}=(-2,-2)$ より $\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=6:2=3:1$ となり条件を満たす。