図形と方程式の問題

手順 1: 円の中心と半径を読み取る。

円 $C:(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=25$ の中心は $(1,-2)$、半径は $r=5$ です。

手順 2: 中心と直線の距離 $d$ を求める。

点 $(1,-2)$ と直線 $3x-4y+4=0$ の距離は、点と直線の距離の公式より
$$d=\frac{|3\cdot 1-4\cdot (-2)+4|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|3+8+4|}{5}=\frac{15}{5}=3$$
です。$d=3<5=r$ なので、確かに円と直線は異なる $2$ 点で交わります。

手順 3: 弦の長さを求める。

円の中心から直線 $\ell$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると、$\mathrm{H}$ は弦 $\mathrm{AB}$ の中点です。直角三角形で三平方の定理を使うと
$$\mathrm{AH}=\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$$
よって
$$\mathrm{AB}=2\mathrm{AH}=2\sqrt{r^2-d^2}=2\times 4=8$$

（確認: 連立して解くと交点は $(-4,-2)$, $\left(\frac{12}{5},\frac{14}{5}\right)$ で、その距離は $\sqrt{6.4^2+4.8^2}=\sqrt{64}=8$ となり一致します。）

答え: $8$

円 $C$ の中心は $(1,-2)$、半径は $5$ である。中心から直線 $3x-4y+4=0$ までの距離は $d=\frac{|3\cdot 1-4\cdot (-2)+4|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|3+8+4|}{5}=\frac{15}{5}=3$ である。$d=3<5$ より、円と直線は異なる $2$ 点で交わる。よって弦 $\mathrm{AB}$ の長さは $2\sqrt{5^2-3^2}=2\sqrt{16}=8$ である。

検算として、直線の式から $y=\frac{3x+4}{4}$ を円の式に代入する。$y+2=\frac{3x+12}{4}$ なので $(x-1{)}^2+\frac{9(x+4{)}^2}{16}=25$。両辺に $16$ を掛けて $16(x^2-2x+1)+9(x^2+8x+16)=400$、すなわち $25x^2+40x-240=0$、$5x^2+8x-48=0$ となる。これを因数分解すると $(5x-12)(x+4)=0$ なので $x=\frac{12}{5},-4$。$x$ 座標の差は $\frac{32}{5}$、直線の傾きは $\frac{3}{4}$ だから、$\mathrm{AB}=\frac{32}{5}\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\frac{32}{5}\cdot \frac{5}{4}=8$ となり一致する。