図形と方程式の問題

円 $C$ の中心を $\mathrm{Q}$、半径を $r$ とします。

手順 1：中心と半径を読み取る

$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=13$ より、中心は $\mathrm{Q}(2,-1)$、半径は $r=\sqrt{13}$ です。

手順 2：中心と直線の距離 $d$ を求める

点と直線の距離の公式より、
$$d=\frac{|2-(-1)+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$$
$d^2=8<13=r^2$ なので $d<r$ となり、確かに $\ell$ と $C$ は異なる $2$ 点で交わります。

手順 3：弦の長さを求める

中心 $\mathrm{Q}$ から $\ell$ に垂線 $\mathrm{QH}$ を下ろすと、$\mathrm{H}$ は弦 $\mathrm{AB}$ の中点です。直角三角形 $\mathrm{QAH}$ で三平方の定理を使うと
$$\mathrm{AH}=\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{13-8}=\sqrt{5}$$
よって
$$\mathrm{AB}=2\mathrm{AH}=2\sqrt{5}$$

（確認）$y=x+1$ を $C$ の式に代入すると $(x-2{)}^2+(x+2{)}^2=13$、すなわち $2x^2=5$ で $x=\pm \sqrt{\frac{5}{2}}$。$x$ 座標の差は $\sqrt{10}$、傾きが $1$ なので $y$ 座標の差も $\sqrt{10}$ で、$\mathrm{AB}=\sqrt{10+10}=2\sqrt{5}$ となり一致します。

答え：$2\sqrt{5}$

円 $C$ の中心は $(2,-1)$、半径は $\sqrt{13}$ である。
中心から直線 $x-y+1=0$ までの距離は $d=\frac{|2-(-1)+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ である。
$d^2=8<13$ なので、$\ell$ と $C$ は異なる2点で交わる。
弦の長さは $\mathrm{AB}=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{13-8}=2\sqrt{5}$ である。

検算: $y=x+1$ を円の式に代入すると $(x-2{)}^2+(x+2{)}^2=13$、すなわち $2x^2+8=13$ となり、$x=\pm \sqrt{5/2}$ を得る。
2交点の $x$ 座標の差は $2\sqrt{5/2}$ である。直線の傾きが $1$ なので、$\mathrm{AB}=\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{5/2}=2\sqrt{5}$ となり、一致する。