図形と方程式の問題

方針：接点の座標を求めずに、接線の方程式の形を利用して直線 $\mathrm{QR}$ を求める。

点 $\mathrm{P}$ が円の外にあることを確かめる。$3^2+1^2=10>5$ なので、$\mathrm{P}$ は円 $C$ の外にあり、接線は 2 本引ける。

接点を $\mathrm{Q}(x_1,y_1)$, $\mathrm{R}(x_2,y_2)$ とする。円 $x^2+y^2=5$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の方程式は
$$x_{1}x+y_{1}y=5$$
である。この接線は点 $\mathrm{P}(3,1)$ を通るので
$$3x_1+y_1=5(1)$$
同様に、点 $\mathrm{R}$ における接線 $x_{2}x+y_{2}y=5$ も $\mathrm{P}$ を通るので
$$3x_2+y_2=5(2)$$

$(1)$, $(2)$ は、2 点 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ がどちらも方程式
$$3x+y=5$$
を満たすことを表している。この方程式は直線を表し、異なる 2 点 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ を通る直線はただ 1 つなので、直線 $\mathrm{QR}$ の方程式は $3x+y=5$、すなわち
$$y=-3x+5$$
である。

（確かめ）$y=-3x+5$ を $x^2+y^2=5$ に代入すると $x^2+(5-3x{)}^2=5$ より $10x^2-30x+20=0$、$x^2-3x+2=0$、$x=1,2$。接点は $(1,2)$, $(2,-1)$ で、それぞれの接線 $x+2y=5$, $2x-y=5$ はどちらも $\mathrm{P}(3,1)$ を通る。

よって、求める右辺は $-3x+5$ である。

円 $x^2+y^2=5$ 上の点 $(x_0,y_0)$ における接線は $x_{0}x+y_{0}y=5$ である。接点を $\mathrm{Q}(x_1,y_1)$, $\mathrm{R}(x_2,y_2)$ とすると、接線 $x_{1}x+y_{1}y=5$, $x_{2}x+y_{2}y=5$ はどちらも $\mathrm{P}(3,1)$ を通るので、$3x_1+y_1=5$, $3x_2+y_2=5$ が成り立つ。これは 2 点 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ がともに直線 $3x+y=5$ 上にあることを意味する。よって直線 $\mathrm{QR}$ は $3x+y=5$、すなわち $y=-3x+5$ である。

検算：$y=5-3x$ を円の式に代入すると $x^2+(5-3x{)}^2=5$ より $10x^2-30x+20=0$、すなわち $x=1,2$。接点は $(1,2)$ と $(2,-1)$ になる。接線はそれぞれ $x+2y=5$ と $2x-y=5$ で、どちらも $\mathrm{P}(3,1)$ を通る（$3+2=5$, $6-1=5$）。また $\mathrm{P}$ は $9+1=10>5$ より円の外部にある。

したがって $mx+n=-3x+5$。