図形と方程式の問題

円 $C$ の中心は $(1,2)$、半径は $\sqrt{5}$ である。

点 $\mathrm{P}$ が円の外にあることを確かめる。中心と $\mathrm{P}$ の距離の 2 乗は $(4-1{)}^2+(3-2{)}^2=10>5$ なので、$\mathrm{P}$ は円の外にあり、接線は 2 本引ける。

接点を $\mathrm{Q}(x_1,y_1)$, $\mathrm{R}(x_2,y_2)$ とする。$\mathrm{Q}$ における接線の方程式は
$$(x_1-1)(x-1)+(y_1-2)(y-2)=5$$
であり、これが $\mathrm{P}(4,3)$ を通るので
$$(x_1-1)\cdot 3+(y_1-2)\cdot 1=5(1)$$
同様に、$\mathrm{R}$ における接線も $\mathrm{P}$ を通るので
$$(x_2-1)\cdot 3+(y_2-2)\cdot 1=5(2)$$
$(1)$, $(2)$ は、点 $(x_1,y_1)$ と点 $(x_2,y_2)$ がともに直線
$$3(x-1)+(y-2)=5$$
の上にあることを表している。異なる 2 点を通る直線はただ 1 つなので、これが直線 $\mathrm{QR}$ である。

整理すると $3x-3+y-2=5$ より $3x+y-10=0$、すなわち
$$y=-3x+10$$

（確認）この直線上では $y-2=8-3x$ なので、円の方程式に代入すると
$$(x-1{)}^2+(8-3x{)}^2=5$$
$$x^2-2x+1+9x^2-48x+64=5$$
$$10x^2-50x+60=0$$
より $x^2-5x+6=0$、$(x-2)(x-3)=0$ から $x=2,3$。$y=-3x+10$ に代入すると、$x=2$ のとき $y=4$、$x=3$ のとき $y=1$ なので、交点は $(2,4)$, $(3,1)$ である。

点 $(2,4)$ について、中心 $(1,2)$ とこの点を結ぶ直線の傾きは $\frac{4-2}{2-1}=2$、$\mathrm{P}(4,3)$ とこの点を結ぶ直線の傾きは $\frac{4-3}{2-4}=-\frac{1}{2}$ で、積は $2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$ となり垂直である。点 $(3,1)$ についても、傾きは $\frac{1-2}{3-1}=-\frac{1}{2}$ と $\frac{1-3}{3-4}=2$ で、積は $-1$ となり垂直である。半径と直交するので、$\mathrm{P}$ からこれらの点へ引いた直線は確かに接線であり、2 点は接点である。

よって求める式は $-3x+10$ である。

円 $C$ の中心は $(1,2)$、半径の2乗は $5$ である。$\mathrm{P}(4,3)$ について $(4-1{)}^2+(3-2{)}^2=10>5$ なので、P は円の外部にある。

点 $(x_1,y_1)$ を通る接線の接点を結ぶ直線（極線）の方程式は $(x_1-1)(x-1)+(y_1-2)(y-2)=5$ である。$(x_1,y_1)=(4,3)$ を代入すると
$3(x-1)+(y-2)=5$
よって $3x+y=10$、すなわち $y=-3x+10$。

検算：$y=10-3x$ を円の式に代入すると $(x-1{)}^2+(8-3x{)}^2=5$。整理して $10x^2-50x+60=0$、すなわち $x^2-5x+6=0$ より $x=2,3$。接点は $\mathrm{Q}(2,4)$, $\mathrm{R}(3,1)$ となる。
$\overrightarrow{CQ}=(1,2)$, $\overrightarrow{QP}=(2,-1)$ の内積は $2-2=0$ で垂直。
$\overrightarrow{CR}=(2,-1)$, $\overrightarrow{RP}=(1,2)$ の内積は $2-2=0$ で垂直。
よって両方とも接線になっている。

答え：$-3x+10$