定点を通る直線と2直線の交点を通る直線

$k$ を含む直線の方程式を $k$ について整理して、 $k$ によらず通る定点を求められ、2直線 $f = 0, g = 0$ の交点を通る直線を $f + k g = 0$ の形で求められる

前提

直線の方程式（数学II 図形と方程式）

この技能までの道筋（15 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
連立方程式の解き方（加減法・代入法）（中学数学方程式）
1 次関数の式の求め方（中学数学関数）
直線の方程式（数学II 図形と方程式）

説明

文字 $k$ を含む直線の方程式は、 $k$ の値を変えるとたくさんの直線を表します。式を $k$ について整理すると、それらの直線がすべて通る点（定点）を求められます。この考え方を逆に使うと、2直線 $f = 0, g = 0$ の交点を通る直線を、交点の座標を求めずに $f + k g = 0$ の形でまとめて表せます。交点を通り、さらに「ある点を通る」などの条件を満たす直線を求めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

【定点】たとえば $k (x + y - 3) + (x - 2 y) = 0$ が、どんな $k$ についても成り立つ点 $(x, y)$ を考えます。 $k = 0$ のときも成り立つので、 $x - 2 y = 0$ が必要です。すると式は $k (x + y - 3) = 0$ となり、 $k = 1$ でも成り立つには $x + y - 3 = 0$ も必要です。逆に両方が $0$ なら、どんな $k$ でも左辺は $0$ になります。つまり、 $k \cdot A + B = 0$ が $k$ によらず成り立つことは、 $A = 0$ と $B = 0$ が両方成り立つことと同じです。そこで連立方程式 $A = 0, B = 0$ を解けば定点が求まります。ただし、直線 $A = 0$ と $B = 0$ が平行で共有点をもたなければ、連立方程式に解はありません。このときは定点は存在しません（例: $k (x + y - 1) + (x + y - 3) = 0$ ）。

【 $f + k g = 0$ が交点を通る直線になる理由】 $f = a x + b y + c, g = a^{'} x + b^{'} y + c^{'}$ とし、直線 $f = 0$ と $g = 0$ はただ1点 $P$ で交わるとします。 $f + k g = (a + k a^{'}) x + (b + k b^{'}) y + (c + k c^{'})$ なので、 $x, y$ の係数の少なくとも一方が $0$ でなければ直線を表します。かりに両方とも $0$ 、つまり $a = - k a^{'}, b = - k b^{'}$ だったとします。 $k = 0$ なら $a = b = 0$ となり、 $f = 0$ が直線であることに反します。 $k \neq = 0$ なら、 $f = 0$ は $- k (a^{'} x + b^{'} y) + c = 0$ 、すなわち $a^{'} x + b^{'} y = \frac{c}{k}$ と変形できます。一方、 $g = 0$ は $a^{'} x + b^{'} y = - c^{'}$ です。左辺が同じなので、2直線は「右辺が違えば平行、同じなら一致」となり、1点で交わることに反します。よって $f + k g = 0$ は必ず直線です。また点 $P$ では $f = 0, g = 0$ なので、 $f + k g = 0 + k \cdot 0 = 0$ となります。つまりこの直線は $k$ によらず $P$ を通ります。

【 $g = 0$ 以外はすべて表せ、 $g = 0$ は表せない理由】 $P$ を通る直線 $ℓ$ が $g = 0$ と異なるとします。 $ℓ$ 上に $P$ 以外の点 $Q$ をとると、2直線 $ℓ$ と $g = 0$ の共有点は $P$ だけなので、 $g (Q) \neq = 0$ です。そこで $k = - \frac{f ( Q )}{g ( Q )}$ と選ぶと、 $f + k g = 0$ は $Q$ も通ります。2点 $P, Q$ を通る直線はただ1つなので、この直線は $ℓ$ と一致します。一方、 $f + k g = 0$ が $g = 0$ と一致したとします。 $g = 0$ 上の $P$ 以外の点 $Q$ では $g (Q) = 0$ なので、 $f (Q) = 0$ となります。すると $f = 0$ と $g = 0$ は2点 $P, Q$ を共有して一致してしまい、矛盾です。したがって $g = 0$ だけはどの $k$ でも表せません。 $g = 0$ が答えになりうるときは、別に確かめる必要があります。

手順

【定点】 $k$ を含む直線の式を $k$ について整理し、 $k \cdot A + B = 0$ の形にする（ $A, B$ は $x, y$ の式）
【定点】連立方程式 $A = 0, B = 0$ を解く。その解が定点である。解がない（ $A = 0$ と $B = 0$ が平行な）ときは、定点は存在しない
【交点を通る直線】2直線 $f = 0, g = 0$ が1点で交わることを確かめ、交点を通る直線を $f + k g = 0$ とおく。 $g = 0$ 自身が条件を満たすかどうかは別に調べる
【交点を通る直線】通る点などの条件を $f + k g = 0$ に代入して $k$ を決め、式を整理する

例題

2直線 $x - y + 1 = 0$ と $2 x + y - 4 = 0$ の交点と、原点 $(0, 0)$ を通る直線の方程式を、 $y = m x + n$ の形で求めよ。

例題の解答

手順3： $x - y + 1 = 0$ は $y = x + 1$ （傾き $1$ ）、 $2 x + y - 4 = 0$ は $y = - 2 x + 4$ （傾き $- 2$ ）である。傾きが違うので、2直線は1点で交わる。交点を通る直線を
$(x - y + 1) + k (2 x + y - 4) = 0$
とおく。ただし $2 x + y - 4 = 0$ 自身はこの形で表せないので、別に調べる。 $(0, 0)$ を代入すると $0 + 0 - 4 = - 4 \neq = 0$ となるので、 $2 x + y - 4 = 0$ は原点を通らず、答えではない。

手順4： $(0, 0)$ を代入すると $1 + k \cdot (- 4) = 0$ となり、 $k = \frac{1}{4}$ である。これを代入し、両辺を $4$ 倍すると
$4 (x - y + 1) + (2 x + y - 4) = 0$
$6 x - 3 y = 0$
となり、 $y = 2 x$ を得る。

確認：2直線の交点は、2式を足すと $3 x - 3 = 0$ より $x = 1, y = 2$ で、点 $(1, 2)$ である。 $y = 2 x$ は $(1, 2)$ と $(0, 0)$ をどちらも通っている。

よって求める直線は $y = 2 x$ である。

答え: $2 x$

よくある誤り

$k$ について整理せずに、 $k = 0$ を代入しただけで終えてしまう誤り。たとえば $k (x + y - 3) + (x - 2 y) = 0$ で $k = 0$ とすると $x - 2 y = 0$ しか得られず、点は決まらない。正しくは $x + y - 3 = 0$ と $x - 2 y = 0$ を連立して解き、定点 $(2, 1)$ を求める。
$k$ について整理するときに、 $k$ を含まない項を落としたり符号を間違えたりする誤り。たとえば $(k + 1) x + (k - 2) y - 3 k = 0$ の $- 2 y$ を落として $k (x + y - 3) + x = 0$ としてしまう。正しくは、展開してから $k$ を含む項 $k x + k y - 3 k$ と含まない項 $x - 2 y$ に分け、 $k (x + y - 3) + (x - 2 y) = 0$ とする。
$f + k g = 0$ で交点を通るすべての直線が表せると思い込む誤り。たとえば $x - y + 1 = 0$ と $2 x + y - 4 = 0$ の交点と点 $(2, 0)$ を通る直線を求めるとき、 $(x - y + 1) + k (2 x + y - 4) = 0$ に代入すると $3 + k \cdot 0 = 0$ となり、 $k$ が見つからない。ここで「直線はない」としてはいけない。正しくは $g = 0$ を別に調べると、 $2 x + y - 4 = 0$ が $(2, 0)$ を通るので、これが答えである。
2直線が交わるか、あるいは $A = 0, B = 0$ が解をもつかを確かめずに進めてしまう誤り。たとえば $x + y - 1 = 0$ と $x + y - 3 = 0$ は平行で交点がない。このとき $k = - 1$ では $(x + y - 1) - (x + y - 3) = 2 = 0$ となり、直線を表さない。同じ理由で、 $k (x + y - 1) + (x + y - 3) = 0$ には定点が存在しない。正しくは、先に2直線が1点で交わることを確認する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

接点を結ぶ直線（数学II 図形と方程式）